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19．袋中有形狀大小完全相同的8個(gè)小球.其中紅球5個(gè).白球3個(gè).某人逐個(gè)從袋中取球.第一次取出一個(gè)小球.記下顏色后放回袋中,第二次取出一個(gè)小球.記下顏色后.不放回袋中.第三次取出一個(gè)小球.記下顏色后.放回袋中.第四次取出一個(gè)小球.記下顏色后不放回袋中--.如此進(jìn)行下去.直到摸完球?yàn)橹?(1)求第四次恰好摸到紅球的概率,(2)記ξ為前三次摸到紅球的個(gè)數(shù).寫(xiě)出其分布列.并求其期望Eξ. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

（本小題12分）袋中有形狀大小完全相同的8個(gè)小球，其中紅球5個(gè)，白球3個(gè)。某人逐個(gè)從袋中取球，第一次取出一個(gè)小球，記下顏色后放回袋中；第二次取出一個(gè)小球，記下顏色后，不放回袋中，第三次取出一個(gè)小球，記下顏色后，放回袋中，第四次取出一個(gè)小球，記下顏色后不放回袋中……，如此進(jìn)行下去，直到摸完球?yàn)橹埂?br />（1）求第四次恰好摸到紅球的概率；
（2）記ξ為前三次摸到紅球的個(gè)數(shù)，寫(xiě)出其分布列，并求其期望Eξ。

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（本小題滿分12分）一個(gè)袋中裝有四個(gè)形狀大小完全相同的球，球的編號(hào)分別為1，2，3，4．

（1）從袋中隨機(jī)抽取一個(gè)球，將其編號(hào)記為，然后從袋中余下的三個(gè)球中再隨機(jī)抽取一個(gè)球，將其編號(hào)記為．求關(guān)于的一元二次方程有實(shí)根的概率；

（2）先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為，將球放回袋中，然后再?gòu)拇须S機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為．若以作為點(diǎn)P的坐標(biāo)，求點(diǎn)P落在區(qū)域內(nèi)的概率．

 

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（本小題滿分12分）一個(gè)袋中裝有四個(gè)形狀大小完全相同的球，球的編號(hào)分別為

（Ⅰ）從袋中隨機(jī)取出兩個(gè)球，求取出的球的編號(hào)之和不大于的概率；

（Ⅱ）先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為，將球放回袋中，然后再?gòu)拇须S機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為，求的概率。

 

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（本小題滿分12分）

一個(gè)袋中裝有四個(gè)形狀大小完全相同的球，球的編號(hào)分別為1，2，3，4.

（Ⅰ）從袋中隨機(jī)抽取兩個(gè)球，求取出的球的編號(hào)之和不大于4的概率；

（Ⅱ）先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為m，將球放回袋中，然后再?gòu)拇须S機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為n，求的概率.

 

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（本小題滿分12分）甲乙兩人各有個(gè)材質(zhì)、大小、形狀完全相同的小球，甲的

小球上面標(biāo)有五個(gè)數(shù)字，乙的小球上面標(biāo)有五個(gè)數(shù)字.把各自的小球放

入兩個(gè)不透明的口袋中，兩人同時(shí)從各自的口袋中隨機(jī)摸出個(gè)小球.規(guī)定：若甲摸出的小

球上的數(shù)字是乙摸出的小球上的數(shù)字的整數(shù)倍，則甲獲勝，否則乙獲勝.

(1)寫(xiě)出基本事件空間；

(2)你認(rèn)為“規(guī)定”對(duì)甲、乙二人公平嗎？說(shuō)出你的理由.

 

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一、選擇題：

1．D  2．A 3  B  4．D 5．A 6．D 7．B 8．C 9．A  10．B  11.A  12.B

二、填空題：

13．12          14．    15   3          16．，①②③④    

三、解答題：

17．解：法（1）：①∵=(1+cosB，sinB)與=（0，1）所成的角為

∴與向量=（1，0）所成的角為                                                   

∴，即                                                   （2分）

而B(niǎo)∈（0，π），∴，∴，∴B=。                               （4分）

②令A(yù)B=c，BC=a，AC=b

∵B=，∴b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac=，∵a，c>0。             （6分）

∴a2+c2≥，ac≤     （當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)等號(hào)成立）

∴12=a2+c2-ac≥                                           （8分）

∴(a+c)2≤48，∴a+c≤，∴a+b+c≤+=（當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取等號(hào)）

故ΔABC的周長(zhǎng)的最大值為。                                                          （10分）

法2：（1）cos<，>=cos

∴，                                                                                   （2分）

即2cos2B+cosB-1=0，∴cosB=或cosB=-1（舍），而B(niǎo)∈（0，π），∴B=     （4分）

（2）令A(yù)B=c，BC=a，AC=b，ΔABC的周長(zhǎng)為，則=a+c+

而a=b?，c=b?                                      （2分）

∴==

=                                （8分）

∵A∈（0，），∴A-，

當(dāng)且僅當(dāng)A=時(shí)，。                                         （10分）

 18．解法一：（1）∵PA⊥底面ABCD，BC平面AC，∴PA⊥BC

∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC，又PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC

（2）∵AB∥CD，∠BAD=120°，∴∠ADC=60°，又AD=CD=1

∴ΔADC為等邊三角形，且AC=1，取AC的中點(diǎn)O，則DO⊥AC，又PA⊥底面ABCD，

∴PA⊥DO，∴DO⊥平面PAC，過(guò)O作OH⊥PC，垂足為H，連DH

由三垂成定理知DH⊥PC，∴∠DHO為二面角D-PC-A的平面角

由OH=，DO=，∴tan∠DHO==2

∴二面角D-PC-A的大小的正切值為2。

（3）設(shè)點(diǎn)B到平面PCD的距離為d，又AB∥平面PCD

∴VA-PCD=VP-ACD，即

∴  即點(diǎn)B到平面PCD的距離為。

19．解：（1）第一和第三次取球?qū)Φ谒拇螣o(wú)影響，計(jì)第四次摸紅球?yàn)槭录嗀

①第二次摸紅球，則第四次摸球時(shí)袋中有4紅球概率為

                                                                            （2分）

②第二次摸白球，則第四次摸球時(shí)袋中有5紅2白，摸紅球概率為

                                                                           （3分）

∴P(A)=，即第四次恰好摸到紅球的概率為。（6分）（注：無(wú)文字說(shuō)明扣一分）

（2）由題設(shè)可知ξ的所有可能取值為：ξ=0，1，2，3。P（ξ=0）=；

P（ξ=1）=；P（ξ=2）=；

P（ξ=3）=。故隨機(jī)變量ξ的分布列為：

ξ

0

1

2

    
   
    
    
    
      
     
      
      
      
      
      
      （10分）
      P
      ∴Eξ=（個(gè)），故Eξ=（個(gè)）                                    （1
      20.解：（1），
      故數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列。
      ，…………………………………………4分
      （2），
      ①
      ②
      ②―①得，即③
      ④
      ④―③得，即
      所以數(shù)列是等差數(shù)列……………………9分
      （3）………………………………11分
      設(shè)，則 
      …………13分
      21．解：（1）設(shè)，.
      整理得AB：bx-ay-ab=0與原點(diǎn)距離，又，
      聯(lián)立上式解得b=1，∴c=2，.∴雙曲線方程為.
      （2）設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2）設(shè)CD中點(diǎn)M（x0，y0），
      ∴，∴|AC|=|AD|，∴AM⊥CD.
      聯(lián)立直線與雙曲線的方程得，整理得（1-3k2）x2-6kmx-3m2-3=0，且.
      ∴ ，    ，
      ∴∴，∴AM⊥CD.
      ∴，整理得，
      則且k2>0，，代入中得.
      ∴.
      22．解：（1）∵(x)=3ax2+sinθx-2
      由題設(shè)可知：即∴sinθ=1。（2分）
      從而a=，∴f(x)=，而又由f(1)=得，c=
      ∴f(x)=即為所求。                                                     （4分）
      （2）(x)=x2+x-2=(x+2)(x-1)易知f(x)在（-∞，-2）及（1，+∞）上均為增函數(shù)，在（-2，1）上為減函數(shù)。
      （i）當(dāng)m>1時(shí)，f(x)在[m，m+3]上遞增。故f(x)max=f(m+3)，f(x)min=f(m)
      由f(m+3)-f(m)=(m+3)3+(m+3)2-2(m+3)-=3m2+12m+得-5≤m≤1。這與條件矛盾故舍。                                                                             （6分）
      （ii）當(dāng)0≤m≤1時(shí)，f(x)在[m，1]上遞減，在[1，m+3]上遞增。
      ∴f(x)min=f(1)，f(x)max={f(m)，f(m+3)}max
      又f(m+3)-f(m)=3m2+12m+=3(m+2)2->0（0≤m≤1），∴f(x)max=f(m+3)
      ∴|f(x1)-f(x2)| ≤f(x)max-f(x)min=f(m+3)-f(1)
≤f(4)-f(1)=恒成立
      故當(dāng)0≤m≤1原式恒成立。                                                                       （8分）
      綜上：存在m且m∈[0，1]合乎題意。                                                   （9分）
      （3）∵a1∈(0，1，∴a2∈，故a2>2
      假設(shè)n=k（k≥2，k∈N*）時(shí)，ak>2。則ak+1=f(ak)>f(2)=8>2
      故對(duì)于一切n（n≥2，n∈N*）均有an>2成立。                                    （11分）
      令g(x)=
      得=
      當(dāng)x∈（0，2）時(shí)(x)<0，x∈（2，+∞）時(shí)，(x)>0，
      ∴g(x)在x∈[2，+∞時(shí)為增函數(shù)。
      而g(2)=8-8ln2>0，即當(dāng)x∈[2，+∞時(shí)，g(x)≥g(2)>0恒成立。
      ∴g(an)>0，（n≥2）也恒成立。即：an+1>8lnan（n≥2）恒成立。
      而當(dāng)n=1時(shí)，a2=8，而8lna1≤0，∴a2>8lna1顯然成立。
      綜上：對(duì)一切n∈N*均有an+1>8lnan成立。                              
       
       
       
       
      		
      
	
	

      
	







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