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已知函數(shù)和的定義域分別是集合A、B，

（1）求集合A，B；

（2）求集合，．

【解析】本試題考查了集合的基本運(yùn)算。第一問中，利用

由解得 

由解得

第二問中，由（1）得 

解：（1）由解得      ……………………3分

由解得               ……………………6分

（2）由（1）得                           ……………………9分

 

已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且 (N^*),其中．

(Ⅰ) 求的通項(xiàng)公式；

(Ⅱ) 設(shè) (N^*).

①證明： ；

② 求證：.

【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解和運(yùn)用。運(yùn)用關(guān)系式，表示通項(xiàng)公式，然后得到第一問，第二問中利用放縮法得到，②由于，

所以利用放縮法，從此得到結(jié)論。

解：(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，由得.  ……2分

若存在由得，

從而有，與矛盾，所以.

從而由得得.  ……6分

 (Ⅱ)①證明：

證法一：∵∴

∴ 

∴.…………10分

證法二：，下同證法一.           ……10分

證法三：（利用對偶式）設(shè)，，

則.又，也即，所以，也即，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921381634452104/SYS201206192140215789581034_ST.files/image037.png">，所以.即

                    ………10分

證法四：（數(shù)學(xué)歸納法）①當(dāng)時(shí), ,命題成立;

   ②假設(shè)時(shí),命題成立,即,

   則當(dāng)時(shí),

    即

即

故當(dāng)時(shí)，命題成立.

綜上可知，對一切非零自然數(shù)，不等式②成立.           ………………10分

②由于，

所以，

從而.

也即

 

已知遞增等差數(shù)列滿足：，且成等比數(shù)列．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若不等式對任意恒成立，試猜想出實(shí)數(shù)的最小值，并證明．

【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用以及數(shù)列求和的運(yùn)用。第一問中，利用設(shè)數(shù)列公差為，

由題意可知，即，解得d，得到通項(xiàng)公式，第二問中，不等式等價(jià)于，利用當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；而，所以猜想，的最小值為然后加以證明即可。

解：（1）設(shè)數(shù)列公差為，由題意可知，即，

解得或（舍去）．      …………3分

所以，．        …………6分

（2）不等式等價(jià)于，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

而，所以猜想，的最小值為．     …………8分

下證不等式對任意恒成立．

方法一：數(shù)學(xué)歸納法．

當(dāng)時(shí)，，成立．

假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，

當(dāng)時(shí)，， …………10分

只要證  ，只要證  ，

只要證  ，只要證  ，

只要證  ，顯然成立．所以，對任意，不等式恒成立．…14分

方法二：單調(diào)性證明．

要證 

只要證  ，  

設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，        …………10分

，    …………12分

所以對，都有，可知數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列．

而，所以恒成立，

故的最小值為．

 

已知數(shù)列是各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列，公差為d，為其前n項(xiàng)和，且滿足,．?dāng)?shù)列滿足,，為數(shù)列的前n項(xiàng)和．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列的前n項(xiàng)和；

（2）若對任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）是否存在正整數(shù)，使得成等比數(shù)列？若存在，求出所有的值；若不存在，請說明理由．

【解析】第一問利用在中，令n=1，n=2，

得   即      

解得，， [

又時(shí)，滿足，

，

第二問，①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．   

 ，等號在n=2時(shí)取得．

此時(shí) 需滿足．  

②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．     

 是隨n的增大而增大， n=1時(shí)取得最小值-6．

此時(shí) 需滿足．

第三問，

     若成等比數(shù)列，則，

即．

由，可得，即，

        ．

（1）（法一）在中，令n=1，n=2，

得   即      

解得，， [

又時(shí)，滿足，

，

．

（2）①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．   

 ，等號在n=2時(shí)取得．

此時(shí) 需滿足．  

②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．     

 是隨n的增大而增大， n=1時(shí)取得最小值-6．

此時(shí) 需滿足．

綜合①、②可得的取值范圍是．

（3），

     若成等比數(shù)列，則，

即．

由，可得，即，

．

又，且m>1，所以m=2，此時(shí)n=12．

因此，當(dāng)且僅當(dāng)m=2， n=12時(shí)，數(shù)列中的成等比數(shù)列

 

已知中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)F₁、F₂在x軸上的橢圓E經(jīng)過點(diǎn)C（2，2），且拋物線的焦點(diǎn)為F₁.

（Ⅰ）求橢圓E的方程；

（Ⅱ）垂直于OC的直線l與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)以AB為直徑的圓P與y軸相切時(shí)，求直線l的方程和圓P的方程.

【解析】本試題主要考查了橢圓的方程的求解以及直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用。第一問中，設(shè)出橢圓的方程，然后結(jié)合拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)得到，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921190757897157/SYS201206192120259226615718_ST.files/image003.png">，這樣可知得到。第二問中設(shè)直線l的方程為y=-x+m與橢圓聯(lián)立方程組可以得到

，再利用可以結(jié)合韋達(dá)定理求解得到m的值和圓p的方程。

解：(Ⅰ)設(shè)橢圓E的方程為

①………………………………1分

  ②………………２分

  ③       由①、②、③得a²=12,b²=6…………3分

所以橢圓E的方程為…………………………4分

(Ⅱ)依題意，直線OC斜率為1，由此設(shè)直線l的方程為y=-x+m，……………5分

 代入橢圓E方程，得…………………………6分

………………………7分

、………………8分

………………………9分

……………………………10分

    當(dāng)m=3時(shí)，直線l方程為y=-x+3，此時(shí)，x₁ +x₂=4，圓心為（2，1），半徑為2，

圓P的方程為（x-2）²+(y-1)²=4；………………………………11分

同理，當(dāng)m=－3時(shí)，直線l方程為y=-x－3，

圓P的方程為（x+2）²+(y+1)²=4