在四棱錐中，平面，底面為矩形，.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求證：；

（Ⅱ）若邊上有且只有一個(gè)點(diǎn)，使得，求此時(shí)二面角的余弦值.

【解析】第一位女利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理得到。當(dāng)a=1時(shí)，底面ABCD為正方形，

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912265168707359/SYS201207091227226245550949_ST.files/image014.png">,………………2分

又，得證。

第二問(wèn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)……4分

設(shè)BQ=m，則Q(1，m,0)(0《m《a》

要使，只要

所以，即………6分

由此可知時(shí)，存在點(diǎn)Q使得

當(dāng)且僅當(dāng)m=a-m，即m=a/2時(shí)，BC邊上有且只有一個(gè)點(diǎn)Q，使得

由此知道a=2,  設(shè)平面POQ的法向量為

,所以    平面PAD的法向量

則的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以

因此二面角A-PD-Q的余弦值為

解：(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，底面ABCD為正方形，

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912265168707359/SYS201207091227226245550949_ST.files/image014.png">,又………………3分

(Ⅱ) 因?yàn)锳B,AD,AP兩兩垂直，分別以它們所在直線為X軸、Y軸、Z軸建立坐標(biāo)系，如圖所示，

則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)…………4分

設(shè)BQ=m，則Q(1，m,0)(0《m《a》要使，只要

所以，即………6分

由此可知時(shí)，存在點(diǎn)Q使得

當(dāng)且僅當(dāng)m=a-m，即m=a/2時(shí)，BC邊上有且只有一個(gè)點(diǎn)Q，使得由此知道a=2,

設(shè)平面POQ的法向量為

,所以    平面PAD的法向量

則的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以

因此二面角A-PD-Q的余弦值為

某市2000年底有100萬(wàn)人，人均住房面積為10平方米，由于政策移民等因素，人口年平均增長(zhǎng)6%．為了改善市民的住房條件，市政府規(guī)定；從2001年起，每年新建住房60萬(wàn)平方米，若2001年記作第一年，
（1）寫出第n年該市的人口總數(shù)r_n（萬(wàn)人）和住房總面積a_n（萬(wàn)平方米）
（2）計(jì)算2006年底該市的人均住房面積（精確到0.1平方米）
（3）按照這種新房建設(shè)速度，到2008年底，若要實(shí)現(xiàn)本屆市政府提出的“人均住房面積達(dá)到14平方米”的目標(biāo)，必須從2001年起，將人口的增長(zhǎng)率控制在多少以內(nèi)？（精確到0.1%）

建造一條防洪堤，其斷面為等腰梯形，腰與底邊成角為（如圖），考慮到防洪堤堅(jiān)固性及石塊用料等因素，設(shè)計(jì)其斷面面積為平方米，為了使堤的上面與兩側(cè)面的水泥用料最省，則斷面的外周長(zhǎng)（梯形的上底線段與兩腰長(zhǎng)的和）要最�。�

（１）求外周長(zhǎng)的最小值，并求外周長(zhǎng)最小時(shí)防洪堤高h(yuǎn)為多少米？

（２）如防洪堤的高限制在的范圍內(nèi)，外周長(zhǎng)最小為多少米？