題目列表(包括答案和解析)
已知正項(xiàng)數(shù)列
的前n項(xiàng)和
滿足：
，
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)
和前n項(xiàng)和；
（2）求數(shù)列
的前n項(xiàng)和
；
（3）證明：不等式 
對(duì)任意的
，
都成立．
【解析】第一問中，由于所以
兩式作差
，然后得到
從而
得到結(jié)論
第二問中，
利用裂項(xiàng)求和的思想得到結(jié)論。
第三問中，
又
結(jié)合放縮法得到。
解：（1）∵ ∴
∴
∴
∴ ………2分
又∵正項(xiàng)數(shù)列，∴
∴
又n=1時(shí)，
∴
∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列……………3分
∴
…………………4分
∴
…………………5分
（2）
…………………6分
∴
…………………9分
（3）
…………………12分
又
，
∴不等式 對(duì)任意的，都成立．
已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為4，公差為4，其前n項(xiàng)和為Sn，則數(shù)列 {
}的前n項(xiàng)和為（ �。�
|
| A． |
| B． |
| C． |
| D． |
|
| 考點(diǎn)： | 數(shù)列的求和；等差數(shù)列的性質(zhì)． |
| 專題： | 等差數(shù)列與等比數(shù)列． |
| 分析： | 利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和即可得出Sn，再利用“裂項(xiàng)求和”即可得出數(shù)列 { |
| 解答： | 解：∵Sn=4n+ ∴ ∴數(shù)列 { 故選A． |
| 點(diǎn)評(píng)： | 熟練掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、“裂項(xiàng)求和”是解題的關(guān)鍵． |
在等差數(shù)列{an}中，a1=3，其前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列{bn}的各項(xiàng)均為正數(shù)，b1=1，公比為q,且b2+ S2=12，
.（Ⅰ）求an 與bn；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{cn}滿足
，求{cn}的前n項(xiàng)和Tn.
【解析】本試題主要是考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和的運(yùn)用。第一問中，利用等比數(shù)列{bn}的各項(xiàng)均為正數(shù)，b1=1，公比為q,且b2+ S2=12，，可得
，解得q=3或q=-4(舍),d=3.得到通項(xiàng)公式故an=3+3(n-1)=3n, bn=3 n-1. 第二問中，，由第一問中知道
，然后利用裂項(xiàng)求和得到Tn.
解： (Ⅰ) 設(shè)：{an}的公差為d,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921190757897157/SYS201206192120143914538050_ST.files/image003.png">解得q=3或q=-4(舍),d=3.
故an=3+3(n-1)=3n, bn=3 n-1. ………6分
(Ⅱ)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921190757897157/SYS201206192120143914538050_ST.files/image004.png">……………8分
已知
=2，點(diǎn)（
）在函數(shù)
的圖像上，其中
=
.
（1）設(shè)
，求
及數(shù)列{
}的通項(xiàng)公式；
（2）記
，求數(shù)列{
}的前n項(xiàng)和
，并求
.
【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列求和的運(yùn)用。注意構(gòu)造等比數(shù)列的思想的運(yùn)用。并能運(yùn)用裂項(xiàng)求和。
已知正數(shù)數(shù)列{an }中，a1 =2.若關(guān)于x的方程
（
）對(duì)任意自然數(shù)n都有相等的實(shí)根．
(1)求a2 ,a3的值；
(2)求證
【解析】(1)中由題意得△
，即
,進(jìn)而可得
,.
(2)中由于，所以
，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911043026517891/SYS201207091105101557850601_ST.files/image008.png">，所以數(shù)列
是以
為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，知數(shù)列
是以
為首項(xiàng)，公比為
的等比數(shù)列，利用裂項(xiàng)求和得到不等式的證明。
(1)由題意得△，即,進(jìn)而可得
(2)由于，所以，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911043026517891/SYS201207091105101557850601_ST.files/image008.png">，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，知數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，于是
,
所以
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=2n2+2n，
．
}的前n項(xiàng)和=
=
=
．