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2．將棱長(zhǎng)為a的正四面體的一個(gè)面與棱長(zhǎng)為a的正四棱錐的一個(gè)側(cè)面吻合.則吻合后的幾何體呈現(xiàn)幾個(gè)面? 分析:這道題.學(xué)生答“7個(gè)面的占99.9%.少數(shù)應(yīng)服從多數(shù)嗎? 從例題中三個(gè)特征提供的思路在解決問(wèn)題時(shí)各具特色.它們的目標(biāo)分別是找“點(diǎn) .“垂面 . “垂線段．事實(shí)上.我們只要找到其中一個(gè).另兩個(gè)就接踵而來(lái)．掌握這種關(guān)系對(duì)提高解題技能和培養(yǎng)空間想象能力非常重要．本題如果能融合三個(gè)特征對(duì)思維的監(jiān)控.可有效地克服.抑制思維的消極作用.培養(yǎng)思維的廣闊性和批判性．如圖9.過(guò)兩個(gè)幾何體的高線VP.VQ的垂足 P.Q分別作BC的垂線.則垂足重合于O.且O為 BC的中點(diǎn)．OP延長(zhǎng)過(guò)A.OQ延長(zhǎng)交ED于R.考慮到三垂線定理的環(huán)境背影.∠AOR為二面角 A-BC-R的平面角.結(jié)合特征.可得VAOR 為平行四邊形.VA∥BE.所以V.A.B.E共面．同理V.A.C.D共面．所以這道題的正確答案應(yīng)該是5個(gè)面．例3 如圖10.在正方體ABCD-A1B1C1D1中.E是BC的中點(diǎn).F在AA1上.且A1F∶FA=1∶2.求平面B1EF與底面A1C1所成的二面角大小的正切值．分析:在給定的平面B1EF與底面A1C1所成的二面角中.沒(méi)有出現(xiàn)二面角的棱.我們可以設(shè)法在二面角的兩個(gè)面內(nèi)找出兩個(gè)面的共點(diǎn).則這兩個(gè)公共點(diǎn)的連線即為二面角的棱.最后借助這條棱作出二面角的平面角．略解:如圖10．在面BB1CC1內(nèi).作EH⊥B1C1于H.連結(jié)HA1.顯然直線EF在底面A1C1的射影為HA1．延長(zhǎng)EF.HA1交于G.過(guò)G.B1的直線為所求二面角的棱．在平面A1B1C1D1內(nèi).作HK⊥GB1于K.連EK. 則∠HKE為所求二面角的平面角．在平面A1B1C1D1內(nèi).作B1L⊥GH于L.利用Rt△GLB1∽R(shí)t△GKH.可求得KH．又在Rt△EKH中.設(shè)EH=a.容易得到:所求二面角大小的正切值注:我們也可以不直接作出二面角的平面角.而通過(guò)等價(jià)變換或具體的計(jì)算得出其平面角的大小．我們可以使用平移法．由兩平面平行的性質(zhì)可知.若兩平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交.那么這兩個(gè)平行平面與第三個(gè)平面所成的二面角相等或互補(bǔ)．因而例3中的二面角不易直接作出其平面角時(shí).可利用此結(jié)論平移二面角的某一個(gè)面到合適的位置.以便等價(jià)地作出該二面角的平面角．略解:過(guò)F作A′B′的平行線交BB′于G.過(guò)G作B′C′的平行線交B′E于H.連FH．顯見(jiàn)平面FGH∥平面A′B′C′D′．則二面角B′-FH-G的平面角度數(shù)等于所求二面角的度數(shù)．過(guò)G作GM⊥HF. 垂足為M.連B′M.由三垂線定理知 B′M⊥HF．所以∠B′MG為二面角 B′-FH-G的平面角.其大小等于所求二面角平面角的大小．例4 已知:如圖12.P是正方形ABCD所在平面外一點(diǎn).PA=PB=PC=PD=a.AB=a．求:平面APB與平面CPD相交所成較大的二面角的余弦值．分析:為了找到二面角及其平面角.必須依據(jù)題目的條件.找出兩個(gè)平面的交線．解:因?yàn)?AB∥CD.CD 平面CPD.AB 平面CPD．所以 AB∥平面CPD．又 P∈平面APB.且P∈平面CPD. 因此平面APB∩平面CPD=l.且P∈l．所以二面角B-l-C就是平面APB和平面CPD相交所得到的一個(gè)二面角．因?yàn)?AB∥平面CPD.AB 平面APB.平面CPD∩平面APB=l. 所以 AB∥l．過(guò)P作PE⊥AB.PE⊥CD．因?yàn)?l∥AB∥CD.因此 PE⊥l.PF⊥l. 所以 ∠EPF是二面角B-l-C的平面角．因?yàn)?PE是正三角形APB的一條高線.且AB=a. 因?yàn)?E.F分別是AB.CD的中點(diǎn).所以 EF=BC=a．在△EFP中. 小結(jié):二面角及其平面角的正確而合理的定位.要在正確理解其定義的基礎(chǔ)上.掌握其基本特征.并靈活運(yùn)用它們考察問(wèn)題的背景．我們已經(jīng)看到.定位是為了定量.求角的大小往往要化歸到一個(gè)三角形中去解.因此尋找“垂線段 .把問(wèn)題化歸是十分重要的．【查看更多】

“點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體”．如圖，x軸上有一條單位長(zhǎng)度的線段AB，沿著與其垂直的y軸方向平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，線段掃過(guò)的區(qū)域形成一個(gè)二維方體（正方形ABCD），再把正方形沿著與其所在的平面垂直的z軸方向平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，則正方形掃過(guò)的區(qū)域形成一個(gè)三維方體（正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁）．請(qǐng)你設(shè)想存在四維空間，將正方體向第四個(gè)維度平移得到四維方體，若一個(gè)四維方體有m個(gè)頂點(diǎn)，n條棱，p個(gè)面，則m，n，p的值分別為（　　）

A．16，32，24

B．16，32，20

C．16，24，20

D．24，48，36

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“點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體”．如圖，x軸上有一條單位長(zhǎng)度的線段AB，沿著與其垂直的y軸方向平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，線段掃過(guò)的區(qū)域形成一個(gè)二維方體（正方形ABCD），再把正方形沿著與其所在的平面垂直的z軸方向平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，則正方形掃過(guò)的區(qū)域形成一個(gè)三維方體（正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁）．請(qǐng)你設(shè)想存在四維空間，將正方體向第四個(gè)維度平移得到四維方體，若一個(gè)四維方體有m個(gè)頂點(diǎn)，n條棱，p個(gè)面，則m，n，p的值分別為（）

A．16，32，24
B．16，32，20
C．16，24，20
D．24，48，36

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“點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體”。如圖，軸上有一條單位長(zhǎng)度的線段，沿著與其垂直的軸方向平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，線段掃過(guò)的區(qū)域形成一個(gè)二維方體（正方形），再把正方形沿著與其所在的平面垂直的軸方向平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，則正方形掃過(guò)的區(qū)域形成一個(gè)三維方體（正方體）。請(qǐng)你設(shè)想存在四維空間，將正方體向第四個(gè)維度平移得到四維方體，若一個(gè)四維方體有個(gè)頂點(diǎn)，條棱，個(gè)面，則的值分別為 ( )

A． B． C． D．

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“點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體”。如圖，軸上有一條單位長(zhǎng)度的線段，沿著與其垂直的軸方向平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，線段掃過(guò)的區(qū)域形成一個(gè)二維方體（正方形），再把正方形沿著與其所在的平面垂直的軸方向平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，則正方形掃過(guò)的區(qū)域形成一個(gè)三維方體（正方體）。請(qǐng)你設(shè)想存在四維空間，將正方體向第四個(gè)維度平移得到四維方體，若一個(gè)四維方體有個(gè)頂點(diǎn)，條棱，個(gè)面，則的值分別為 ( )