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4.2微積分基本定理 學(xué)習(xí)目標(biāo): 1.通過(guò)實(shí)例.直觀了解微積分基本定理的含義.會(huì)用牛頓-萊布尼茲公式求簡(jiǎn)單的定積分 2.通過(guò)實(shí)例體會(huì)用微積分基本定理求定積分的方法 3.通過(guò)微積分基本定理的學(xué)習(xí).體會(huì)事物間的相互轉(zhuǎn)化.對(duì)立統(tǒng)一的辯證關(guān)系.培養(yǎng)學(xué)生辯證唯物主義觀點(diǎn).提高理性思維能力 學(xué)習(xí)重點(diǎn)難點(diǎn): 通過(guò)探究變速直線運(yùn)動(dòng)物體的速度與位移的關(guān)系.使學(xué)生直觀了解微積分基本定理的含義.并能正確運(yùn)用基本定理計(jì)算簡(jiǎn)單的定積分 自主學(xué)習(xí): 一.知識(shí)回顧: 定積分的概念及用定義計(jì)算 二.新課探究 我們講過(guò)用定積分定義計(jì)算定積分,但其計(jì)算過(guò)程比較復(fù)雜.所以不是求定積分的一般方法.我們必須尋求計(jì)算定積分的新方法.也是比較一般的方法. 變速直線運(yùn)動(dòng)中位置函數(shù)與速度函數(shù)之間的聯(lián)系 設(shè)一物體沿直線作變速運(yùn)動(dòng).在時(shí)刻t時(shí)物體所在位置為S(). 則物體在時(shí)間間隔內(nèi)經(jīng)過(guò)的路程可用速度函數(shù)表示為. 另一方面.這段路程還可以通過(guò)位置函數(shù)S(t)在上的增量來(lái)表達(dá).即 = 而. 對(duì)于一般函數(shù).設(shè).是否也有 若上式成立.我們就找到了用的原函數(shù)(即滿(mǎn)足)的數(shù)值差來(lái)計(jì)算在上的定積分的方法. 注:1:定理 如果函數(shù)是上的連續(xù)函數(shù)的任意一個(gè)原函數(shù).則 證明:因?yàn)?與都是的原函數(shù).故 -=C()其中C為某一常數(shù). 令得-=C.且==0 即有C=.故=+ =-= 令.有 此處并不要求學(xué)生理解證明的過(guò)程 為了方便起見(jiàn).還常用表示.即 該式稱(chēng)之為微積分基本公式或牛頓-萊布尼茲公式.它指出了求連續(xù)函數(shù)定積分的一般方法.把求定積分的問(wèn)題.轉(zhuǎn)化成求原函數(shù)的問(wèn)題.是微分學(xué)與積分學(xué)之間聯(lián)系的橋梁. 它不僅揭示了導(dǎo)數(shù)和定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系.同時(shí)也提供計(jì)算定積分的一種有效方法.為后面的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ).因此它在教材中處于極其重要的地位.起到了承上啟下的作用.不僅如此.它甚至給微積分學(xué)的發(fā)展帶來(lái)了深遠(yuǎn)的影響.是微積分學(xué)中最重要最輝煌的成果. 三.例題解析: 例1．計(jì)算下列定積分: (1), (2). 解:(1)因?yàn)?所以. (2))因?yàn)? 所以 . 例2．計(jì)算下列定積分: . 由計(jì)算結(jié)果你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論?試?yán)们吿菪蔚拿娣e表示所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論. 解:因?yàn)? 所以. . . 可以發(fā)現(xiàn).定積分的值可能取正值也可能取負(fù)值.還可能是0: ( l )當(dāng)對(duì)應(yīng)的曲邊梯形位于 x 軸上方時(shí) .定積分的值取正值.且等于曲邊梯形的面積, 圖1 . 6 一 3 ( 2 ) (2)當(dāng)對(duì)應(yīng)的曲邊梯形位于 x 軸下方時(shí) .定積分的值取負(fù)值.且等于曲邊梯形的面積的相反數(shù), ( 3)當(dāng)位于 x 軸上方的曲邊梯形面積等于位于 x 軸下方的曲邊梯形面積時(shí).定積分的值為0 .且等于位于 x 軸上方的曲邊梯形面積減去位于 x 軸下方的曲邊梯形面積． 例3．汽車(chē)以每小時(shí)32公里速度行駛.到某處需要減速停車(chē).設(shè)汽車(chē)以等減速度=1.8米/秒2剎車(chē).問(wèn)從開(kāi)始剎車(chē)到停車(chē).汽車(chē)走了多少距離? 解:首先要求出從剎車(chē)開(kāi)始到停車(chē)經(jīng)過(guò)了多少時(shí)間.當(dāng)t=0時(shí).汽車(chē)速度=32公里/小時(shí)=米/秒8.88米/秒,剎車(chē)后汽車(chē)減速行駛,其速度為當(dāng)汽車(chē)停住時(shí),速度,故從解得秒 于是在這段時(shí)間內(nèi),汽車(chē)所走過(guò)的距離是 =米,即在剎車(chē)后,汽車(chē)需走過(guò)21.90米才能停住. 微積分基本定理揭示了導(dǎo)數(shù)和定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系.同時(shí)它也提供了計(jì)算定積分的一種有效方法．微積分基本定理是微積分學(xué)中最重要的定理.它使微積分學(xué)蓬勃發(fā)展起來(lái).成為一門(mén)影響深遠(yuǎn)的學(xué)科.可以毫不夸張地說(shuō).微積分基本定理是微積分中最重要.最輝煌的成果． 課堂鞏固: 1.曲線與坐標(biāo)軸圍成的面積是 A.4 B. C.3 D.2 2.下列積分不正確的是 A. B. C. D. 3.計(jì)算= 4. 計(jì)算= 歸納反思: 合作探究: 1.求拋物線與直線x+y=2所圍圖形的面積 2.求由曲線與..所圍成的平面圖形的面積 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

利用定積分的幾何意義或微積分基本定理計(jì)算下列定積分：
（1）∫01
1-x2
dx=
π
4
π
4
．        （2）∫132xdx=
6
ln2
6
ln2
．

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給出以下命題：
（1）若
∫
b
a
f(x)dx＞0，則f（x）＞0；  
（2）
∫
2π
0
|sinx|dx=4；
（3）應(yīng)用微積分基本定理，有
∫
2
1
1
x
dx=F(2)-F(1)，則F（x）=lnx；
（4）f（x）的原函數(shù)為F（x），且F（x）是以T為周期的函數(shù)，則
∫
a
0
f(x)dx=
∫
a+T
T
f(x)dx；
其中正確命題的個(gè)數(shù)為（　�。�

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給出以下命題：

   （1）若，則f(x)>0；  （2）;

   （3）微積分基本定理，有, 則；

   （4）若，且F(x)是以T為周期的函數(shù)，則；

        其中正確命題的個(gè)數(shù)為  （ ）

 

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給出以下命題：
（1）若，則f（x）＞0；  
（2）；
（3）應(yīng)用微積分基本定理，有，則F（x）=lnx；
（4）f（x）的原函數(shù)為F（x），且F（x）是以T為周期的函數(shù)，則；
其中正確命題的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

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給出以下命題：
（1）若，則f（x）＞0；  
（2）；
（3）應(yīng)用微積分基本定理，有，則F（x）=lnx；
（4）f（x）的原函數(shù)為F（x），且F（x）是以T為周期的函數(shù)，則；
其中正確命題的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

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