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5．已知拋物線.過其上一點(diǎn)引拋物線的切線.使與兩坐標(biāo)軸在第一象限圍成的三角形面積最小.求切線的方程. 例6．已知拋物線或.如果直線同時(shí)是和的切線.則稱是和的公切線.公切線上兩個(gè)切點(diǎn)之間的線段.稱為公切線段. (1)取什么值時(shí)和有且僅有一條公切線?寫出此公切線的方程, (2)若和有兩條公切線.證明相應(yīng)的兩條公切線段互相平分. ［剖析］分別求曲線和的切線方程.由于和有且僅有一條公切線.從而列出方程組.求解的取值.進(jìn)行得到公切線方程,而對(duì)于證明相應(yīng)的兩條公切線段互相平分的問題.只需要證明這兩條切線的中點(diǎn)是同一點(diǎn)即可. ［解］(1)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是.曲線在點(diǎn)處的切線方程為:.即 ① 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是.曲線在點(diǎn)處的切線方程為: .即 ② 如果直線是過點(diǎn)和的公切線.則①②都是直線的方程.從而有 消去得方程.由.得. 此時(shí).即點(diǎn)和重合.故當(dāng)時(shí).和有且僅有一條公切線.此公切線方程為. 知.當(dāng)時(shí).和有兩條公切線.設(shè)其中的一條公切線在和上的切點(diǎn)分別為. 則 即公切線段的中點(diǎn)是 同理可證.另一條公切線段的中點(diǎn)也是.所以公切線段和相互平分. ［警示］可以利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程.由于函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)表示曲線在點(diǎn)處切線的斜率.因此.曲線在點(diǎn)處的切線方程.可按如下方式求得: 第一.求出函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù).即曲線在點(diǎn)處切線的斜率, 第二.在已知切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率的條件下.求得切線方程, 如果曲線在點(diǎn)的切線平行于軸時(shí).由切線的定義可知.切線的方程為. ［變式訓(xùn)練］ 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

已知拋物線y=-x2+2過其上一點(diǎn)P引拋物線的切線l，l與坐標(biāo)軸在第一象限圍成△AOB，求△AOB面積S的最小值，并求此時(shí)切線l的方程．

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已知拋物線C：x2=2my（m＞0）和直線l：y=x-m沒有公共點(diǎn)（其中m為常數(shù)）．動(dòng)點(diǎn)P是直線l上的任意一點(diǎn)，過P點(diǎn)引拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為M、N，且直線MN恒過點(diǎn)Q（1，1）．
（1）求拋物線C的方程；
（2）已知O點(diǎn)為原點(diǎn)，連接PQ交拋物線C于A、B兩點(diǎn)，求
|PA|
|
PB|
-
|
QA|
|
QB|
的值．

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已知拋物線y=-x2+2，過其上一點(diǎn)P引拋物線的切線l，使l與兩坐標(biāo)軸在第一象限圍成的三角形的面積最小，求l的方程.

      

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已知拋物線和直線沒有公共點(diǎn)（其中、為常數(shù)），動(dòng)點(diǎn)是直線上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)引拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為、，且直線恒過點(diǎn).

（1）求拋物線的方程；

（2）已知點(diǎn)為原點(diǎn)，連結(jié)交拋物線于、兩點(diǎn)，證明：.   

 

 

 

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已知拋物線和直線沒有公共點(diǎn)（其中、為常數(shù)），動(dòng)點(diǎn)是直線上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)引拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為、，且直線恒過點(diǎn).

（1）求拋物線的方程；

（2）已知點(diǎn)為原點(diǎn)，連結(jié)交拋物線于、兩點(diǎn)，

證明：

 

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