5．已知函數(shù).方程的一個(gè)根是6. (1)若直線與函數(shù)和的圖象的交點(diǎn)分別為.試求當(dāng)取何值時(shí).線段的長(zhǎng)度取得最大值, (2)函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線為.在點(diǎn)處的切線為.若.與軸的交點(diǎn)分別為.試求兩點(diǎn)之間的距離的取值范圍. 例6．已知函數(shù). (1)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間, (2)求函數(shù)圖象在與軸交點(diǎn)得的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的圖形的面積, (3)判斷方程解的情況(). ［剖析］求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間一般可以利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來解決.即轉(zhuǎn)化解不等式和,不等式的解集即為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.但首先要研究函數(shù)的定義域,求曲線在某一點(diǎn)的切線可以利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,要研究方程根的個(gè)數(shù)問題.則可以通過函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)的數(shù)來分析.要畫出函數(shù)大致圖象.應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性.函數(shù)的極值及函數(shù)經(jīng)過的特殊點(diǎn)等多個(gè)方面來考查. ［解］(1),因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?令,解得:;令,解得且,所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是. (2)與軸的交點(diǎn)設(shè)為,則,由于,切線的斜率為.切線方程為. 令,得,令,得. 所以所圍三角形的面積為. (3)方程等價(jià)于,在平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象,如右圖所示: 所以當(dāng)時(shí),方程有2個(gè)根;當(dāng)時(shí),方程有1個(gè)根;當(dāng)時(shí),方程沒有根;當(dāng)時(shí),方程有1個(gè)根. ［警示］在近年的高考試題中.導(dǎo)數(shù)越來越成為一個(gè)考查熱點(diǎn).由于導(dǎo)數(shù)本身具有強(qiáng)大的工具作用.導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性.極值.最值的研究.曲線切線問題的解決.不等式的證明.恒成立問題以方程根的討論等問題中都具有著重要的作.以導(dǎo)數(shù)為載體的綜合題已經(jīng)成為了高考命題的風(fēng)向標(biāo).利用導(dǎo)數(shù)不僅能夠判斷函數(shù)的單調(diào)性,研究函數(shù)的極值與最值情況,而且還能在此基礎(chǔ)上畫出函數(shù)的大致圖象,得到函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)的或兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)的條件,從而為研究方程的根及函數(shù)的零點(diǎn)提供方便,所以在解決方程的根的問題中,要善于運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的方法進(jìn)行求解. ［變式訓(xùn)練］【查看更多】

題目列表(包括答案和解析)

已知函數(shù)f（x）=x³+3ax-1，a∈R．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）的圖象在x=1處的切線與直線y=6x+6平行，求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)（x）=f′（x）-6，對(duì)滿足-1≤a≤1的一切a的值，都有g(shù)（x）＜0成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)a≤0時(shí)，請(qǐng)問：是否存在整數(shù)a的值，使方程a有且只有一個(gè)實(shí)根？若存在，求出整數(shù)a的值；否則，請(qǐng)說明理由．