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(三)角色定位 1.數學主干知識 (1)函數和導數 (2)數列 (3)不等式 (4)三角函數 (5)立體幾何 (6)解析幾何 (7)概率與統(tǒng)計 (1)函數和導數 函數是高中數學內容的知識主干.是高考考查的重點.在高中階段對函數教學內容的學習劃分為三個階段.并不斷深化.第一階段.主要學習函數的概念.函數的圖象與性質.以指數函數和對數函數為例.重點學習反函數和函數的關系.函數的單調性,第二階段.是以三類三角函數為例.學習函數的奇偶性和周期性,第三階段.則是在學習函數極限.函數連續(xù)性的基礎上.重點學習函數的導數.最終落實在導數的應用.由此給出了研究函數性質的一種新方法.即用導數的方法研究函數的單調性.極大值.高考對函數內容的考查是考查能力的重要素材.一般考查能力的試題都是以函數為基礎編制的.在舊課程卷中多與不等式.數列等內容相綜合.在新課程卷中函數問題更多是與導數相結合.發(fā)揮導數的工具作用.應用導數研究函數的性質.應用函數的單調性證明不等式.體現出新的綜合熱點. 隨著函數與導數內容的結合.一般的問題都是先從求導開始.而求導又有規(guī)范的方法.利用導數判斷函數的單調性也有規(guī)定的尺度.具有較強的可操作性.難易適中. 函數和導數的內容在高考試卷中所占的比例較大.每年都有題目考查.考查時有一定的綜合性.并與思想方法緊密結合.對函數與方程的思想.數形結合的思想.分類討論的思想.有限與無限的思想等都進行了深入的考查.這種綜合性的統(tǒng)攬各種知識.綜合地應用各種方法和能力.在函數的考查中得到了充分的體現.函數與導數的解答題在文.理兩卷中往往分別命制.這不僅是由教學內容要求的差異所決定的.也與文.理科考生的思維水平差異有關.文科卷中函數與導數的解答題.其解析式只能選用多項式函數,而理科卷則可在指數函數.對數函數以及三角函數中選取.在選擇題和填空題中更多地涉及函數圖象.反函數.函數的奇偶性.函數的極限.函數的連續(xù)性和導數的幾何意義等重點內容.在考查時往往不是簡單地考查公式的應用.而是與數學思想方法相結合.突出考查函數與方程思想.有限與無限思想.體現能力立意的命題原則. (2)數列 數列是高中數學的又一重要內容.課時不多.但在高考中.卻占有重要的地位. 在教學過程中.學生學習了一般數列的概念與性質.重點研究了等差數列與等比數列.主要是它們的通項公式與前n項和公式.高考歷來把數列當作重要的內容來考查.對這部分的要求達到相應的深度.題目有適當的難度和一定的綜合程度.數列問題在考查演繹推理能力中發(fā)揮著越來越重要的作用.高考試卷的數列試題中.有的是從等差數列或等比數列入手構造新的數列.有的是從比較抽象的數列入手.給定數列的一些性質.要求考生進行嚴格的邏輯推證.找到數列的通項公式.或證明數列的其他一些性質.在這里也有一些等差或等比數列的公式可以應用.但更多的是應用數列的一般的性質.如等.這些試題對恒等證明能力提出了很高的要求.要求考生首先明確變形目標.然后根據目標進行恒等變形.在變形過程中.不同的變形方法也可能簡化原來的式子.也可能使其更加復雜.所以還存在著變形路徑的選擇問題. 在考查相關知識內容的基礎上.高考對數列的考查把重點放在對數學思想方法的考查.放在對思維能力以及創(chuàng)新意識和實踐能力的考查上.使用選擇題.填空題形式考查的數列試題.往往突出考查函數與方程的思想.數形結合的思想.特殊與一般的思想.有限與無限的思想等數學思想方法.除了考查教材中學習的等差數列與等比數列外.也考查一般數列.使用解答題形式考查數列的試題.其內容往往是一般數列的內容.其方法是研究數列通項及前n項和的一般方法.并且往往不單一考查數列而是與其他內容相綜合.以體現出對解決綜合問題的考查力度.數列綜合題對能力有較高的要求.有一定的難度.對合理區(qū)分較高能力的考生起到重要的作用. 高考在考查數列內容時考慮到文.理科考生在能力上的差異.一般命制不同的試題進行考查.理科試卷側重于理性思維.命題設計時以一般數列為主.以抽象思維和邏輯思維為主,而文科試卷則側重于基礎知識和基本方法的考查.命題設計時以等差.等比數列為主.以具體思維.演繹思維為主. (3)不等式 不等式是高中數學的重要內容之一.學生在高中階段要學習不等式的性質.簡單不等式的解法.不等式的證明以及不等式的應用.在新教材中.不等式的內容與原教材相比.作了一些調整.在解不等式部分.新大綱和新教材中刪去了無理不等式.指數不等式和對數不等式的解法.只保留了二次不等式.分式不等式以及含有絕對值的簡單不等式的解法,平均值定理由原來的三個正數降低為兩個正數的要求.由于這些變化.高考命題也相應作出了調整. 在高考試題中.對不等式內容的考查包括不等式的性質.解簡單的不等式以及平均值定理的應用等.對不等式性質的考查突出體現對基礎知識的考查.其中也能體現出對相應思想方法的考查.以選擇題.填空題形式考查不等式.不僅僅考查解不等式時經常時用的同解變形的代數方法.更突出體現數形結合的思想以及特殊化的思想.對使用平均值定理求最值的考查.由于教學要求的變化.考查要求有所降低.突出常規(guī)方法.淡化特殊技巧.在解答題中.一般是解不等式或證明不等式.不等式的證明與應用常與其他知識內容相綜合.尤其是理科試卷.不等式的證明往往與函數.導數.數列的內容綜合.屬于在知識網絡的交匯處設計的試題.有一定的綜合性和難度.突出體現對理性思維的考查.解不等式的應用往往以求取值范圍的設問方式呈現.通過相關知識.轉化為解不等式或不等式組的問題.并且往往含有參數.也有一定的綜合性和難度.總之.以解答題的形式對不等式內容的考查.往往不是單一考查.而是與其他知識內容相綜合.有較多的方法和較高的能力要求. (4)三角函數 在新教材中.三角函數與原教學內容相比.作了較大的刪減.同角公式由8個刪為3個,刪去了余切的誘導公式,刪去了半角公式.積化和差與和差化積公式,刪去了反三角函數與簡單三角方程的絕大部分內容.只保留了反正弦.反余弦.反正切的意義與符號表示.而簡單三角方程的內容只要求由已知三角函數值求角.因此.新課程卷對三角函數的考查內容也隨之進行了調整.由于新教材中刪去了復數的三角式.刪去了參數方程的部分內容.因此三角函數的工具性作用有所減弱.而新增內容如平面向量.極限與導數.它們在新教材中的工具性作用替代了三角函數在原教材中的工具性作用. 三角函數是自指數函數.對數函數之后學習的又一類型的函數.在此還重點學習了函數的奇偶性和周期性.對函數的概念與性質得到了進一步的深化.因此.在高考中把三角函數作為函數的一種.突出考查它的圖像與性質.尤其是形如的函數圖像與性質.對三角公式和三角變形的考查或與三角函數的圖像與性質相結合.或直接化簡求值.在化簡求值的問題中.不僅考查學生對相關變換公式掌握的熟練程度.更重要的是以三角變形公式為素材.重點考查相關的數學思想和方法.主要是方程的思想和換元法. 由于刪去了反三角函數與三角方程的大部分內容.命題時注意到教學大綱與教材的相應變化.對反三角函數的考查放在對概念的理解上.要求會用反三角函數符號表示相關的角.會由三角函數值求角. (5)立體幾何 高考試卷對空間想象能力的考查集中體現在立體幾何試題上.新教材中刪去了圓柱.圓錐.圓臺.只保留了球,而多面體中刪去了棱臺.保留了棱柱和棱錐.并且刪去了體積的大部分內容.由于教材內容的變化.高考對這部分內容的考查也進行了相應的調整.刪去的內容不再考查.不過多面體的內容在小學和初中都學習過.也學過相關幾何體體積的計算.因此.在高考試題中出現多面體體積的計算應屬于正常范圍. 在立體幾何中引入空間向量以后.很多問題都可以用向量的方法解決.由于應用空間向量的方法.可以通過建立空間坐標系.將幾何元素之間的關系數量化.進而通過計算解決求解.證明的問題.空間向量更顯現出解題的優(yōu)勢. (6)解析幾何 解析幾何是高中數學的又一重要內容.其核心內容直線和圓以及圓錐曲線基本沒有變化.因此高考對解析幾何的考查要求也變化不大.不過.由于新教材中增加了平面向量的內容.而平面向量可以用坐標表示.因此.以坐標為橋梁.使向量的有關運算與解析幾何的坐標運算產生聯系.便可以以向量及其有關運算為工具.來研究解決解析幾何中的有關問題.主要是直線的平行.垂直.點的共線.定比分點以及平移等.這樣就給高考中解析幾何試題的命制開拓了新的思路.為實現在知識網絡的交匯處設計試題提供了良好的素材. 解析幾何問題著重考查解析幾何的基本思想.利用代數的方法研究幾何問題是解析幾何的基本特點和性質.因此.在解題的過程中計算占了很大的比例.對運算能力有較高的要求.但計算要根據題目中曲線的特點和相互之間的關系進行.所以曲線的定義和性質是解題的基礎.而在計算過程中.要根據題目的要求.利用曲線性質將計算簡化.或將某一個“因式 作為一個整體處理.這樣就可大大簡化計算.這其中體現的是“模塊 的思想.也就是換元法. 解析幾何試題除考查概念與定義.基本元素與基本關系外.還突出考查函數與方程的思想.數形結合的思想.特殊與一般的思想等思想方法. (7)概率與統(tǒng)計 概率與統(tǒng)計是高中數學新課程的重要學習內容.它在工農業(yè)生產和社會生活中有著廣泛的應用.在生產和科學技術飛速發(fā)展的當今社會.概率統(tǒng)計的應用已滲透到整個社會的方方面面.從而使概率統(tǒng)計的基礎知識成為一個普通公民的必備常識.其次.這些內容是一些重要的處理問題的方法和重要的數學工具.概率統(tǒng)計在研究對象和方法上與以前學習的確定數學有所不同.是一種處理或然的或隨機事件的方法.對過去的必然的因果關系的處理方法是一種完善和補充. 根據中學數學教學大綱的要求.有關概率與統(tǒng)計的內容在新課程中分為必修和選修兩部分.其中必修部分包括:隨機事件的概率.等可能事件的概率.互斥事件有一個發(fā)生的概率.相互獨立事件的概率.獨立重復試驗等.在選修部分分為文科.理科兩種要求.選修Ⅰ為文科的要求.只含統(tǒng)計的內容.包括:抽樣方法.總體分布的估計.總體期望值和方差的估計.選修Ⅱ為理科的要求.包括:離散型隨機變量的分布列.離散型隨機變量的期望值和方差.抽樣方法.總體分布的估計.正態(tài)分布.線性回歸.在高考試卷中.概率和統(tǒng)計的內容每年都有所涉及.以必修概率內容為主.不過隨著對新內容的深入考查.理科的解答題也會設計包括離散型隨機變量的分布列與期望為主的概率與統(tǒng)計綜合試題.概率與統(tǒng)計的引入拓廣了應用問題取材的范圍.概率的計算.離散型隨機變量的分布列和數學期望的計算等內容都是考查實踐能力的良好素材. 由于中學數學中學習的概率與統(tǒng)計內容是這一數學分支中最基礎的內容.考慮到教學實際和學生的生活實際.高考對這部分內容的考查貼近考生生活.注重考查基礎知識和基本方法. 2.數學思想方法 (1)函數與方程的思想 (2)數形結合的思想 (3)分類與整合的思想 (4)化歸與轉化的思想 (5)特殊與一般的思想 (6)有限與無限的思想 (7)或然與必然的思想 (1)函數與方程的思想 函數是高中代數內容的主于.它主要包括函數的概念.圖像和性質以及幾類典型的函數.函數思想是對函數內容在更高層次上的抽象.概括與提煉.是從函數各部分內容的內在聯系和整體角度來考慮問題.研究問題和解決問題.函數思想貫穿于高中代數的全部內容.它是在學習指數函數.對數函數以及三角函數的過程中逐漸形成.并為研究這些函數服務的.在研究方程.不等式.數列.解析幾何等其他內容時.函數思想也起著十分重要的作用. 方程是初中代數的主要內容.初中階段主要學習了幾類方程和方程組的解法.但在初中階段很難形成思想.所謂方程的思想就是突出研究已知量與未知量之間的等量關系.通過設未知數.列方程或方程組.解方程或方程組等步驟.達到求值目的的解題思路和策略.它是解決各類計算問題的基本思想.是運算能力的基礎. 函數與方程.不等式是通過函數值等于零.大于零或小于零而相互關聯的.它們之間既有區(qū)別又有聯系.函數與方程的思想.既是函數思想與方程思想的體現.也是兩種思想綜合運用的體現.是研究變量與函數.相等與不等過程中的基本數學思想. 高考把函數與方程的思想作為七種思想方法的重點來考查.使用選擇題和填空題考查函數與方程思想的基本運算.而在解答題中.則從更深的層次.在知識網絡的交匯處.從思想方法與相關能力相綜合的角度進行深入考查. (2)數形結合的思想 數學研究的對象是數量關系和空間形式.即“數 與“形 兩個方面.“數 與“形 兩者之間并非是孤立的.而是有著密切的聯系.在一維空間.實數與數軸上的點建立了-一對應的關系.在二維空間.實數對與坐標平面上的點建立了-一對應的關系.進而可以使函數解析式與函數圖像.方程與曲線建立起-一對應的關系.使數量關系的研究可以轉化為圖形性質的研究.反之也可以使圖形性質的研究轉化為數量關系的研究.這種解決數學問題過程中“數 與“形 相互轉化的研究策略.即是數形結合的思想. 在使用過程中.由“形 到“數 的轉化.往往比較明顯.而由“數 到“形 的轉化卻需要轉化的意識.因此.數形結合思想的使用往往偏重于由“數 到“形 的轉化. 在高考中.充分利用選擇題和填空題的題型特點(由于這兩類題型只需寫出結果而無需寫出解答過程).為考查數形結合的思想提供了方便.能突出考查考生將復雜的數量關系問題轉化為直觀的幾何圖形問題來解決的意識.而在解答題中.考慮到推理論證的嚴密性.對數量關系問題的研究仍突出代數的方法而不提倡使用幾何的方法.解答題中對數形結合思想的考查以由“形 到“數 的轉化為主. (3)分類與整合的思想 分類是自然科學乃至社會科學研究中的基本邏輯方法.是研究數學問題時經常使用的數學思想方法.要正確地對事物進行分類.通常應從所研究的具體問題出發(fā).選取恰當的分類標準.然后根據對象的屬性.把它們不重不漏地劃分為若干個類別.科學的分類.一個是標準的統(tǒng)一.一個是不重不漏.劃分只是手段.分類研究才是目的.因此.還需要在分好的類別下對分事物進行研究.在這其中體現的是由大化小.由整體化部分.由一般化特殊的解決問題的方法.它的研究基本方向是“分 .但“分 與“合 既是矛盾的對立面.又是矛盾的統(tǒng)一體.有“分 必然有“合 .當分類解決完這個問題之后.還必須把它們總合到一起.因為我們研究的畢竟是這個問題的全體.這樣.有“分 有“合 .先“分 后“合 .不僅是分類與整合思想解決數學問題的主要過程.也是分類與整合思想的本質屬性. 高考將對分類與整合思想的考查放在了比較重要的位置.并以解答題為主進行考查.考查時要求考生理解什么樣的問題需要分類研究.為什么要分類.如何分類.以及分類后如何研究.最后如何整合.考查中經常對含有字母參數的數學問題進行分類與整合的研究.由此重點考查考生思維的嚴謹性與周密性. (4)化歸與轉化的思想 所謂化歸與轉化的思想是指在研究解決數學問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉化.進而使問題得到解決的一種解題策略.一般情況下.總是將復雜的問題化歸為簡單的問題.將較難的問題轉化為較容易求解的問題.將未解決的問題化歸為已解決的問題.等等. 化歸與轉化的思想是解決數學問題時經常使用的基本思想方法.它的主要特點是靈活性與多樣性.一個數學問題.我們可以視其為一個數學系統(tǒng)或數學結構.組成其要素之間的相互依存和相互聯系的形式是可變的.但其變形并不唯一.而是多種多樣的.所以.應用數學變換的方法去解決有關數學問題時.就沒有一個統(tǒng)一的模式可以遵循.在此正需要我們依據問題本身所提供的信息.利用所謂的動態(tài)思維.去尋找有利于問題解決的變換途徑和方法.并從中進行選擇. 高考中十分重視對化歸和轉化思想的考查.要求考生熟悉數學變換的思想.有意識地運用數學變換的方法去靈活解決有關的數學問題·高考中重點考查一些常用的變換方法.如一般與特殊的轉化.繁與簡的轉化.構造轉化.命題的等價轉化.等等. (5)特殊與一般的思想 人們對一類新事物的認識往往是從這類事物中的個體開始的.通過對某些個例的認識與研究.逐漸積累對這類事物的了解.逐漸形成對這類事物總體的認識.發(fā)現特點.掌握規(guī)律.形成共識.由淺入深.由現象到本質.由局部到整體.由實踐到理論.這種認識事物的過程是由特殊到一般的認識過程.但這并不是目的.還需要用理論指導實踐.用所得到的特點和規(guī)律解決這類事物中的新問題.這種認識事物的過程是由一般到特殊的認識過程.于是這種由特殊到一般再由一般到特殊反復認識的過程.就是人們認識世界的基本過程之一.數學研究也不例外.這種由特殊到一般.由一般到特殊的研究數學問題的基本認識過程.就是數學研究中的特殊與一般的思想. 在教學過程中.對公式.定理.法則的學習往往都是從特殊開始.通過總結歸納得出來的.證明后.又使用它們來解決相關的數學問題.在數學中經常使用的歸納法.演繹法就是特殊與一般思想方法的集中體現.既然它是教學中經常使用的數學思想方法.那么也必然成為高考考查的重點.在高考中.會有意設計一些能集中體現特殊與一般思想的試題.我們曾設計過利用一般歸納法進行猜想的試題,設計過由平面到立體.由特殊到一般進行類比猜想的試題,還著重體現選擇題的特點.考查特殊與一般的思想方法.突出體現特殊化方法的意義與作用.通過構造特殊函數.特殊數列.尋找特殊點.確定特殊位置.利用特殊值.特殊方程等.研究解決一般問題.抽象問題.運動變化的問題.不確定的問題.等等.隨著新教材的全面實施.高考以新增內容為素材.突出考查特殊與一般的思想必然成為今后命題改革的方向. (6)有限與無限的思想 數學研究的對象可以是特殊的或一般的.可以是具體的或抽象的.可以是靜止的或運動的.可以是有限的或無限的.它們之間都是矛盾的對立統(tǒng)一.正是由于對象之間的對立統(tǒng)一.為我們解決這些對立統(tǒng)一的事物提供了研究的方法.有限與無限相比.有限顯得具體.無限顯得抽象.對有限的研究往往先于對無限的研究.對有限個對象的研究往往有章法可循.并積累了一定的經驗.而對無限個對象的研究.卻往往不知如何下手.顯得經驗不足.于是將對無限的研究轉化成對有限的研究.就成了解決無限問題的必經之路.反之當積累了解決無限問題的經驗之后.可以將有限問題轉化成無限問題來解決.這種無限化有限.有限化無限的解決數學問題的方法就是有限與無限的思想. 在數學教學過程中.雖然開始學習的數學都是有限的數學.但其中也包含有無限的成分.只不過沒有進行深入的研究.在學習有關數及其運算的過程中.對自然數.整數.有理數.實數.復數的學習都是研究有限個數的運算.但實際上各數集內元素的個數都是無限的.以上數集都是無限集.對圖形的研究.知道直線和平面都是可以無限延展的.在解析幾何中.還學習過拋物線的漸近線.已經開始有極限的思想體現在其中.學習了數列的極限和函數的極限之后.使中學階段對無限的研究又上了一個新臺階.集中體現了有限和無限的數學思想.使用極限的思想解決數學問題.比較明顯的是立體幾何中求球的體積和表面積.采用無 限分割的方法來解決.實際上是先進行有限次分割.然后再求和.求極限.我們認為.這是典型的有限與無限數學思想的應用. 函數是對運動變化的動態(tài)事物的描述.體現了變量數學在研究客觀事物中的重要作用.導數是對事物變化快慢的一種描述.并由此可進一步處理和解決函數的增減.極大.極小.最大.最小等實際問題.是研究客觀事物變化率和最優(yōu)化問題的有力工具.通過學習和考查.可以體驗研究和處理不同對象所用的不同數學概念和相關理論以及變量數學的力量. 高考中對有限與無限思想的考查才剛剛起步.并且往往是在考查其他數學思想和方法的過程中同時考查有限與無限的思想.例如.在使用由特殊到一般的歸納思想時.含有有限與無限的思想,在使用數學歸納法證明時.解決的是無限的問題.體現的是有限與無限的思想.等等.隨著高中課程的改革.對新增內容的考查在逐步深入.必將加強對有限與無限思想的考查.設計出重點體現有限與無限思想的新穎試題. (7)或然與必然的思想 世間萬物是千姿百態(tài).千變萬化的.人們對世界的了解.對事物的認識是從不同側面進行的.人們發(fā)現事物或現象可以是確定的.也可以是模糊的.或隨機的.為了了解隨機現象的規(guī)律性.便產生了概率論的數學分支.概率是研究隨機現象的學科.隨機現象有兩個最基本的特征.一是結果的隨機性.即重復同樣的試驗.所得到的結果并不相同.以至于在試驗之前不能預料試驗的結果,二是頻率的穩(wěn)定性.即在大量重復試驗中.每個試驗結果發(fā)生的頻率“穩(wěn)定 在一個常數附近.了解一個隨機現象就是.知道這個隨機現象中所有可能出現的結果.知道每個結果出現的概率.知道這兩點就說對這個隨機現象研究清楚了.概率研究的是隨機現象.研究的過程是在“偶然 中尋找“必然 .然后再用“必然 的規(guī)律去解決“偶然 的問題.這其中所體現的數學思想就是或然與必然的思想. 隨著新教材的推廣.高考中對概率內容的考查已放在了重要的位置.通過對教學中所學習的等可能事件的概率.互斥事件有一個發(fā)生的概率.相互獨立事件同時發(fā)生的概率.n次獨立重復試驗恰有k次發(fā)生的概率.隨機事件的分布列與數學期望等重點內容的考查.在考查考生基本概念與基本方法的同時.考查在解決實際應用問題中或然與必然的辯證關系.體現或然與必然的數學思想. 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

已知圓M過三點(1,2),(0,1),(-
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2
3
2
),直線l的方程為x-2y=0,點P在直線l上,過點P作圓M的切線PA,切點為A.
(Ⅰ)求圓M的方程;
(Ⅱ)設經過A,P,M三點的圓為圓Q,問圓Q是否過定點(不同于M點),若有,求出所有定點的坐標;若沒有,說明理由.

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已知三個數成等比數列,它們的和是13,它們的積是27,則這三個數為
1,3,9或9,3,1
1,3,9或9,3,1

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6、數列{an}共有6項,其中三項是1,兩項為2,一項是3,則滿足上述條件的數列共有(  )

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8、用1、2、3、4、5、6組成一個無重復數字的六位數,要求三個奇數1、3、5有且只有兩個相鄰,則不同的排法種數為( 。

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(2013•肇慶一模)因臺風災害,我省某水果基地龍眼樹嚴重受損,為此有關專家提出兩種拯救龍眼樹的方案,每種方案都需分四年實施.若實施方案1,預計第三年可以使龍眼產量恢復到災前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分別是0.3、0.3、0.4;第四年可以使龍眼產量為第三年產量的1.25倍、1.0倍的概率分別是0.5、0.5.若實施方案2,預計第三年可以使龍眼產量達到災前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分別是0.2、0.3、0.5;第四年可以使龍眼產量為第三年產量的1.2倍、1.0倍的概率分別是0.4、0.6.實施每種方案第三年與第四年相互獨立,令ξi(i=1,2)表示方案i實施后第四年龍眼產量達到災前產量的倍數.
(1)寫出ξ1、ξ2的分布列;
(2)實施哪種方案,第四年龍眼產量超過災前產量的概率更大?
(3)不管哪種方案,如果實施后第四年龍眼產量達不到、恰好達到、超過災前產量,預計利潤分別為10萬元、15萬元、20萬元.問實施哪種方案的平均利潤更大?

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