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6．已知函數(shù)f (x)=.數(shù)列|x|(x＞0)的第一項x＝1.以后各項按如下方式取定:曲線x=f (x)在處的切線與經(jīng)過(0.0)和(x,f (x))兩點的直線平行. 求證:當(dāng)n時. (Ⅰ) x (Ⅱ). [專家解答](I ) 證明:因為所以曲線在處的切線斜率即和兩點的直線斜率是以. (II)因為函數(shù).當(dāng)時單調(diào)遞增. 而. 所以.即因此又因為令則因為所以因此故 ★★★高考要考什么 [考點透視] 本專題是等差(比)數(shù)列知識的綜合應(yīng)用.同時加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用.是歷年的重點內(nèi)容之一.近幾年考查的力度有所增加.體現(xiàn)高考是以能力立意命題的原則． [熱點透析] 高考中常常把數(shù)列.極限與函數(shù).方程.不等式.解析幾何等等相關(guān)內(nèi)容綜合在一起.再加以導(dǎo)數(shù)和向量等新增內(nèi)容.使數(shù)列綜合題新意層出不窮．常見題型: (1)由遞推公式給出數(shù)列.與其他知識交匯.考查運(yùn)用遞推公式進(jìn)行恒等變形. 推理與綜合能力． (2)給出Sn與an的關(guān)系.求通項等.考查等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想與解決問題能力． (3)以函數(shù).解析幾何的知識為載體.或定義新數(shù)列.考查在新情境下知識的遷移能力．理科生需要注意數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)列綜合題中的應(yīng)用.注意不等式型的遞推數(shù)列． ★★★突破重難點 [范例1]已知數(shù)列中.對一切自然數(shù).都有且．求證:(1), (2)若表示數(shù)列的前項之和.則．解析: (1)由已知得. 又因為.所以, 因此.即．可知 .即. 于是. 即． [點睛]從題目的結(jié)構(gòu)可以看出.條件是解決問題的關(guān)鍵.必須從中找出和的關(guān)系． [文]記 (Ⅰ)求b1.b2.b3.b4的值, (Ⅱ)求數(shù)列的通項公式及數(shù)列的前n項和解析(I) 整理得 (Ⅱ)由所以 [范例2]設(shè)數(shù)列的前項的和. (Ⅰ)求首項與通項, (Ⅱ)設(shè)..證明: 解析 (Ⅰ)由 Sn=an-×2n+1+, n=1,2,3.- ① 得 a1=S1= a1-×4+ 所以a1=2. 再由①有 Sn-1=an-1-×2n+, n=2,3.4,- 將①和②相減得: an=Sn-Sn-1= (an-an-1)-×(2n+1-2n), n=2,3, - 整理得: an+2n=4(an-1+2n-1),n=2,3, -, 因而數(shù)列{an+2n}是首項為a1+2=4,公比為4的等比數(shù)列.即an+2n = 4×4 n-1= 4 n, n=1,2,3, -, 因而an=4n-2n, n=1,2,3, - (Ⅱ) Sn= ×(4n-2n)-×2n+1 + = ×(2n+1-1)(2n+1-2) = ×(2n+1-1)(2n-1) Tn= = × = ×( - ) 所以 = - ) = ×( - ) < [點睛]Sn與an始終是我們的重點.需要我們引起重視,注意總結(jié)積累數(shù)列不等式放縮的技巧． [文]設(shè)數(shù)列的前n項和為Sn.若是首項為S1各項均為正數(shù)且公比為q的等比數(shù)列. (1)求數(shù)列的通項公式(用S1和q表示), (2)試比較的大小.并證明你的結(jié)論. 解析 (1)∵是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列. ∴．當(dāng)n=1時.a1=S1, 當(dāng)． ∴ (2)當(dāng)n=1時. ∴．當(dāng)時. ∵ ①當(dāng)q=1時. ②當(dāng) ③當(dāng) 綜上可知:當(dāng)n=1時.．當(dāng) 若若 [范例3]由坐標(biāo)原點O向曲線引切線.切于O以外的點P1.再由P1引此曲線的切線.切于P1以外的點P2).如此進(jìn)行下去.得到點列{ Pn}}. 求:(Ⅰ)的關(guān)系式, (Ⅱ)數(shù)列的通項公式, (Ⅲ)當(dāng)時.的極限位置的坐解析 (Ⅰ)由題得過點P1(的切線為過原點又過點Pn(的因為過點Pn-1( 整理得得所以數(shù)列{xn-a}是以公比為的等比數(shù)列 (法2)通過計算再用數(shù)學(xué)歸納法證明. (Ⅲ) 的極限位置為( [點睛]注意曲線的切線方程的應(yīng)用.從而得出遞推式． [文]數(shù)列的前項和為.已知 (Ⅰ)寫出與的遞推關(guān)系式.并求關(guān)于的表達(dá)式, (Ⅱ)設(shè).求數(shù)列的前項和．解析由得. 即.所以.對成立．由..-. 相加得.又.所以. 當(dāng)時.也成立． (Ⅱ)由.得．而. . . [范例4]設(shè)點(.0).和拋物線:y＝x2+an x+bn(n∈N*).其中an＝-2-4n-.由以下方法得到: x1＝1.點P2 (x2.2)在拋物線C1:y＝x2+a1x+b1上.點A1(x1.0)到P2的距離是A1到C1上點的最短距離.-.點在拋物線:y＝x2+an x+bn上.點(.0)到的距離是到上點的最短距離． (Ⅰ)求x2及C1的方程． (Ⅱ)證明{}是等差數(shù)列．解:, C1:y=x2-7x+b1. 設(shè)點P(x,y)是C1上任意一點,則|A1P|= 令f 2+(x2-7x+b1)2, 則由題意得, 即又P2(x2,0)在C1上, ∴2=x22 -7x2+b1 解得x2=3, b1=14. 故C1方程為y=x2-7x+14. 是C1上任意一點,則 |AnP|= 令g(x)=(x-xn)2+(x2+anx+bn)2,則, 由題意得,,即=0, 又∵,∴(xn+1-xn)+2n(2xn+1+an)=0, 即(1+2n+1)xn+1- xn+2 n an =0, (*) 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明xn=2n-1. ① 當(dāng)n=1時,x1=1,等式成立. ② 假設(shè)當(dāng)n=k時,等式成立,即xk=2k-1. 則當(dāng)n=k+1時,由(*)知(1+2k+1)xk+1-xk+2kak=0, (*) 又ak=-2-4k-,∴. 即當(dāng)n=k+1,時等式成立. 由①②知,等式對n∈N+成立,∴{xn}是等差數(shù)列. [點睛]注意第小題的特例.對于求數(shù)列的通項公式.歸納猜想證明是十分常用的手段． [文]已知數(shù)列滿足 (I)證明:數(shù)列是等比數(shù)列, (II)求數(shù)列的通項公式, (II)若數(shù)列滿足證明是等差數(shù)列．解析 (I)證明: 是以為首項.2為公比的等比數(shù)列．得 (III)證明: ① ② ②-①.得即 ③ ④ ④-③.得即是等差數(shù)列． ★★★自我提升【查看更多】

題目列表(包括答案和解析)

已知函數(shù)f(x)=x³ + x²，數(shù)列｜x｜(x＞0)的第一項x＝1，以后各項按如下方式取定：曲線x=f(x)在處的切線與經(jīng)過（0，0）和（x,f (x)）兩點的直線平行（如圖）