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已知直線l與橢圓有且僅有一個(gè)交點(diǎn)Q.且與x軸.y軸分別交于R.S.求以線段SR為對(duì)角線的矩形ORPS的一個(gè)頂點(diǎn)P的軌跡方程． 例4．給出定點(diǎn)A(a.0)(a＞0)和直線l:x=-1.B是直線l上的動(dòng)點(diǎn).∠BOA的角平分線交AB于點(diǎn)C.求點(diǎn)C的軌跡方程.并討論方程表示的曲線類型與a值的關(guān)系. ［剖析］由直接法得出曲線的方程.再作進(jìn)一步化簡(jiǎn).并判斷曲線的形狀. ［解］解法一:依題意.記B(-1.b)(b∈R).則直線OA和OB的方程分別為y=0和y=-bx.設(shè)點(diǎn)C(x.y).則有0≤x＜a.由OC平分∠AOB.知點(diǎn)C到OA.OB距離相等.根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得 |y|= ① 依題設(shè).點(diǎn)C在直線AB上.故有:y=-(x-a) 由x-a≠0.得b=- ② 將②式代入①式得:y2［1+］=［y-］2. 整理得:y2［(1-a)x2-2ax+(1+a)y2］=0 若y≠0.則(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0＜x＜a), 若y=0.則b=0.∠AOB=π.點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0.0).滿足上式. 綜上得點(diǎn)C的軌跡方程為:(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0≤x＜a). ∵ a≠1.∴(0≤r＜a ③ 由此知.當(dāng)0＜a＜1時(shí).方程③表示橢圓弧段,當(dāng)a＞1時(shí).方程③表示雙曲線一支的弧段. 解法二:如圖.設(shè)D是l與x軸的交點(diǎn).過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸.E是垂足 (Ⅰ)當(dāng)|BD|≠0時(shí).設(shè)點(diǎn)C(x.y). 則0＜x＜a.y≠0. 由CE∥BD.得|BD|=(1+a) ∵∠COA=∠COB=∠COD-∠BOD=π-∠COA-∠BOD ∴2∠COA=π-∠BOD ∵tan(2∠COA)=.tan(π-∠BOD)=-tanBOD.tanCOA=.tanBOD=(1+a) ∴(1+a)整理得:(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0＜x＜a) (Ⅱ)當(dāng)|BD|=0時(shí).∠BOA=π.則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0.0).滿足上式 綜合.得點(diǎn)C的軌跡方程為(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0≤x＜a). ∵ a≠1. ∴(0≤r＜a (*) 由此知.當(dāng)0＜a＜1時(shí).方程(*)表示橢圓弧段, 當(dāng)a＞1時(shí).方程(*)表示雙曲線一支的弧段. ［警示］本題主要考查了曲線與方程.直線和圓錐曲線等基礎(chǔ)知識(shí)以及求動(dòng)點(diǎn)軌跡的基本技能和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力.解法一利用設(shè)點(diǎn)法引入?yún)?shù)b.消參數(shù)得方程.解法二則利用角之間關(guān)系.使用二倍角公式得出等式.化簡(jiǎn)較簡(jiǎn)捷.但分析時(shí)不容易想. ［變式訓(xùn)練］ 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

已知A、D分別為橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)，橢圓的離心率e=
3
2
，F(xiàn)1、F2為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AD上的任一點(diǎn)，且
PF1
．
PF2
的最大值為1．
（1）求橢圓E的方程．
（2）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且OA⊥OB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），若存在，求出該圓的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）設(shè)直線l與圓C：x2+y2=R2（1＜R＜2）相切于A1，且l與橢圓E有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)B1，當(dāng)R為何值時(shí)，|A1B1|取最大值？并求最大值．

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已知A、D分別為橢圓E： 的左頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)，橢圓的離心率，F1­、F2為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AD上的任一點(diǎn)，且的最大值為1 ．

（1）求橢圓E的方程；

（2）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且OAOB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），若存在，求出該圓的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）設(shè)直線l與圓相切于A1，且l與橢圓E有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)B1，當(dāng)R為何值時(shí)，|A1B1|取得最大值？并求最大值．

 

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已知A、D分別為橢圓E：=1（a＞b＞0）的左頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)，橢圓的離心率e=，F(xiàn)1、F2為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AD上的任一點(diǎn)，且的最大值為1．
（1）求橢圓E的方程．
（2）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且OA⊥OB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），若存在，求出該圓的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）設(shè)直線l與圓C：x2+y2=R2（1＜R＜2）相切于A1，且l與橢圓E有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)B1，當(dāng)R為何值時(shí)，|A1B1|取最大值？并求最大值．

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已知A、D分別為橢圓E： 的左頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)，橢圓的離心率，F1­、F2為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AD上的任一點(diǎn)，且的最大值為1 ．
（1）求橢圓E的方程；
（2）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且OAOB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），若存在，求出該圓的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）設(shè)直線l與圓相切于A1，且l與橢圓E有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)B1，當(dāng)R為何值時(shí)，|A1B1|取得最大值？并求最大值．

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如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率是
2
2
，A1，A2分別是橢圓C的左、右兩個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓C的右焦點(diǎn)．點(diǎn)D是x軸上位于A2右側(cè)的一點(diǎn)，且滿足
1
|A1D|
+
1
|A2D|
=
2
|FD|
=2．
（1）求橢圓C的方程以及點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線n，再作直線l：y=kx+m與橢圓C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)P，直線l交直線n于點(diǎn)Q．求證：以線段PQ為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．

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