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1證明下列不等式: (1)a,b∈R,求證|a+b|≤|a|+|b|; (2)已知|h|<,|k|<(ε>0),求證:|hk|<ε; (3)已知|h|<cε, c <|x| (c>0,ε>0),求證:||<ε 分析:用絕對值性質及不等式性質作推理運算絕對值性質有: |ab|=|a|·|b|;|an|=|a|n,||=等 證明:(1)證法1:∵-|a|≤a≤|a|,-|b|≤b≤|b| ∴-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b| 即|a+b|≤|a|+|b| 證法2:(|a|+|b|)2-|a+b|2=a2+2|a||b|+b2-(a2+2ab+b2) =2［|a|·|b|-ab)=2(|ab|-ab)≥0顯然成立故(|a|+|b|)2≥|a+b|2 又∵|a|+|b|≥0,|a+b|≥0.所以|a|+|b|≥|a+b|, 即|a+b|≤|a|+|b| (2)∵0≤|h|<,0≤|k|< (ε>0).∴0≤|hk|＝|h|·|k|<·=ε (3)由0<c<|x|可知: 0<且0≤|h|<cε,∴·cε,即||<ε 2求證:|x+|≥2(x≠0) 分析:x與同號,因此有|x+|=|x|+|| 證法一:∵x與同號,∴|x+|=|x|+ ∴|x+|=|x|+≥2=2,即|x+|≥2 證法二:當x>0時,x+≥2=2 當x<0時,-x>0,有 -x+ ∴x∈R且x≠0時有x+≤-2,或x+≥2 即|x+|≥2 方法點撥:不少同學這樣解: 因為|x+|≤|x|+,又|x|+≥2=2,所以|x+|≥2 學生認為這樣解答是根據不等式的傳遞性實際上,上述兩個不等式是異向不等式,是不符合傳遞性的,因而如此作解是錯誤的 3已知:|A-a|<,|B-b|<,求證: (1)|(A+B)-(a+b)|<ε,(2)|(A-B)-(a-b)|<ε 分析:證明本題的關鍵是把結論的左邊湊出條件的左邊,創(chuàng)造利用條件的機會 證明:因為|A-a|<,|B-b|< 所以(1)|(A+B)-(a+b)|=|(A-a)+(B-b)|≤|A-a|+|B-b|<+=ε 即|(A+B)-(a+b)|<ε (2)|(A-B)-(a-b)|=|(A-a)-(B-b)|≤|A-a|+|B-b|<+=ε 即|(A-B)-(a-b)|<ε 方法點撥:本題的證明過程中運用了湊的技巧,望給予足夠重視,靈活掌握 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

證明下列不等式：
（1）若x，y，z∈R，a，b，c∈R+，則
b+c
a
x2+
c+a
b
y2+
a+b
c
z2≥2（xy+yz+zx）
（2）若x，y，z∈R+，且x+y+z=xyz，則
y+z
x
+
z+x
y
+
x+y
z
≥2（
1
x
+
1
y
+
1
z
）

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已知函數f(x)=
x
x2+1
．
（1）求出函數y=f（x）的單調區(qū)間；
（2）當x∈(-
3
4
，+∞)時，證明函數y=f（x）圖象在點(
1
3
，
3
10
)處切線的下方；
（3）利用（2）的結論證明下列不等式：“已知a，b，c∈(-
3
4
，+∞)，且a+b+c=1，證明：
a
a2+1
+
b
b2+1
+
c
c2+1
≤
9
10
”；
（4）已知a1，a2，…，an是正數，且a1+a2+…+an=1，借助（3）的證明猜想
n
k=1
ak
a
2
k
+1
的最大值．（只指出正確結論，不要求證明）

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證明下列不等式：
（1）對任意的正實數a，b，有
1
1+a
≥
1
1+b
-
a-b
(1+b)2
；
（2）
C
0
n
•
50
50+1
+
C
1
n
•
51
51+1
+
C
2
n
•
52
52+1
+…+
C
n
n
•
5n
5n+1
≥
2n•5n
3n+5n
，n∈N．

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證明下列不等式．
（1）求證：當a、b、c為正數時，（a+b+c）（
1
a
+
1
b
+
1
c
）≥9．
（2）已知n≥0，試用分析法證明：
n+2
-
n+1
＜
n+1
-
n
．

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證明下列不等式：
（1）a，b都是正數，且a+b=1，求證：(1+
1
a
)(1+
1
b
)≥9；
（2）設實數x，y滿足y+x2=0，且0＜a＜1，求證：loga(ax+ay)＜
1
8
+loga2．

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