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函數(shù)的極限前面我們學(xué)習(xí)了數(shù)列的極限.已經(jīng)知道數(shù)列可看作一類特殊的函數(shù).即自變量取 1→∞內(nèi)的正整數(shù).若自變量不再限于正整數(shù)的順序.而是連續(xù)變化的.就成了函數(shù).下面我們來學(xué)習(xí)函數(shù)的極限. 函數(shù)的極值有兩種情況:a):自變量無限增大,b):自變量無限接近某一定點x0.如果在這時.函數(shù)值無限接近于某一常數(shù)A.就叫做函數(shù)存在極值.我們已知道函數(shù)的極值的情況.那么函數(shù)的極限如何呢 ? 下面我們結(jié)合著數(shù)列的極限來學(xué)習(xí)一下函數(shù)極限的概念! ⑴.函數(shù)的極限 a):自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限定義:設(shè)函數(shù).若對于任意給定的正數(shù)ε.總存在著正數(shù)X.使得對于適合不等式的一切x.所對應(yīng)的函數(shù)值都滿足不等式那末常數(shù)A就叫做函數(shù)當(dāng)x→∞時的極限.記作: 下面我們用表格把函數(shù)的極限與數(shù)列的極限對比一下: 數(shù)列的極限的定義函數(shù)的極限的定義存在數(shù)列與常數(shù)A.任給一正數(shù)ε＞0.總可找到一正整數(shù)N.對于n＞N的所有都滿足＜ε則稱數(shù)列.當(dāng)x→∞時收斂于A記:. 存在函數(shù)與常數(shù)A.任給一正數(shù)ε＞0.總可找到一正數(shù)X.對于適合的一切x.都滿足.函數(shù)當(dāng)x→∞時的極限為A.記:. 從上表我們發(fā)現(xiàn)了什么 ??試思考之 b):自變量趨向有限值時函數(shù)的極限.我們先來看一個例子. 例:函數(shù).當(dāng)x→1時函數(shù)值的變化趨勢如何?函數(shù)在x=1處無定義.我們知道對實數(shù)來講.在數(shù)軸上任何一個有限的范圍內(nèi).都有無窮多個點.為此我們把x→1時函數(shù)值的變化趨勢用表列出,如下圖: 從中我們可以看出x→1時.→2.而且只要x與1有多接近.就與2有多接近.或說:只要與2只差一個微量ε.就一定可以找到一個δ.當(dāng)＜δ時滿足＜δ定義:設(shè)函數(shù)在某點x0的某個去心鄰域內(nèi)有定義.且存在數(shù)A.如果對任意給定的ε.總存在正數(shù)δ.當(dāng)0＜＜δ時.＜ε則稱函數(shù)當(dāng)x→x0時存在極限.且極限為A.記:. 注:在定義中為什么是在去心鄰域內(nèi)呢?這是因為我們只討論x→x0的過程.與x=x0出的情況無關(guān).此定義的核心問題是:對給出的ε.是否存在正數(shù)δ.使其在去心鄰域內(nèi)的x均滿足不等式. 有些時候.我們要用此極限的定義來證明函數(shù)的極限為 A.其證明方法是怎樣的呢? a):先任取ε＞0, b):寫出不等式＜ε, c):解不等式能否得出去心鄰域0＜＜δ.若能, d):則對于任給的ε＞0.總能找出δ.當(dāng)0＜＜δ時.＜ε成立.因此【查看更多】

題目列表(包括答案和解析)

求下列函數(shù)的極限:

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