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導數(shù)的概念 在學習到數(shù)的概念之前.我們先來討論一下物理學中變速直線運動的瞬時速度的問題.例:設一質(zhì)點沿x軸運動時.其位置x是時間t的函數(shù)..求質(zhì)點在t0的瞬時速度?我們知道時間從t0有增量△t時.質(zhì)點的位置有增量 .這就是質(zhì)點在時間段△t的位移.因此.在此段時間內(nèi)質(zhì)點的平均速度為:.若質(zhì)點是勻速運動的則這就是在t0的瞬時速度.若質(zhì)點是非勻速直線運動.則這還不是質(zhì)點在t0時的瞬時速度.我們認為當時間段△t無限地接近于0時.此平均速度會無限地接近于質(zhì)點t0時的瞬時速度.即:質(zhì)點在t0時的瞬時速度=為此就產(chǎn)生了導數(shù)的定義.如下: 導數(shù)的定義:設函數(shù)在點x0的某一鄰域內(nèi)有定義.當自變量x在x0處有增量△x時.相應地函數(shù)有增量.若△y與△x之比當△x→0時極限存在.則稱這個極限值為在x0處的導數(shù).記為:還可記為:. 函數(shù)在點x0處存在導數(shù)簡稱函數(shù)在點x0處可導.否則不可導.若函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點都可導.就稱函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導.這時函數(shù)對于區(qū)間(a,b)內(nèi)的每一個確定的x值.都對應著一個確定的導數(shù).這就構(gòu)成一個新的函數(shù).我們就稱這個函數(shù)為原來函數(shù)的導函數(shù). 注:導數(shù)也就是差商的極限 左.右導數(shù) 前面我們有了左.右極限的概念.導數(shù)是差商的極限.因此我們可以給出左.右導數(shù)的概念.若極限存在.我們就稱它為函數(shù)在x=x0處的左導數(shù).若極限存在.我們就稱它為函數(shù)在x=x0處的右導數(shù). 注:函數(shù)在x0處的左右導數(shù)存在且相等是函數(shù)在x0處的可導的充分必要條件 函數(shù)的和.差求導法則 函數(shù)的和差求導法則 法則:兩個可導函數(shù)的和(差)的導數(shù)等于這兩個函數(shù)的導數(shù)的和(差).用公式可寫為:.其中u.v為可導函數(shù). 例題:已知.求 解答: 例題:已知.求 解答: 函數(shù)的積商求導法則 常數(shù)與函數(shù)的積的求導法則 法則:在求一個常數(shù)與一個可導函數(shù)的乘積的導數(shù)時.常數(shù)因子可以提到求導記號外面去.用公式可寫成: 例題:已知.求 解答: 函數(shù)的積的求導法則 法則:兩個可導函數(shù)乘積的導數(shù)等于第一個因子的導數(shù)乘第二個因子.加上第一個因子乘第二個因子的導數(shù).用公式可寫成: 例題:已知.求 解答: 注:若是三個函數(shù)相乘.則先把其中的兩個看成一項. 函數(shù)的商的求導法則 法則:兩個可導函數(shù)之商的導數(shù)等于分子的導數(shù)與分母導數(shù)乘積減去分母導數(shù)與分子導數(shù)的乘積.在除以分母導數(shù)的平方.用公式可寫成: 例題:已知.求 解答: 復合函數(shù)的求導法則 在學習此法則之前我們先來看一個例子! 例題:求=? 解答:由于.故 這個解答正確嗎? 這個解答是錯誤的.正確的解答應該如下: 我們發(fā)生錯誤的原因是是對自變量x求導.而不是對2x求導. 下面我們給出復合函數(shù)的求導法則 復合函數(shù)的求導規(guī)則 規(guī)則:兩個可導函數(shù)復合而成的復合函數(shù)的導數(shù)等于函數(shù)對中間變量的導數(shù)乘上中間變量對自變量的導數(shù).用公式表示為: .其中u為中間變量 例題:已知.求 解答:設,則可分解為,因此 注:在以后解題中.我們可以中間步驟省去. 例題:已知.求 解答: 反函數(shù)求導法則 根據(jù)反函數(shù)的定義.函數(shù)為單調(diào)連續(xù)函數(shù).則它的反函數(shù),它也是單調(diào)連續(xù)的.為此我們可給出反函數(shù)的求導法則.如下: 定理:若是單調(diào)連續(xù)的.且.則它的反函數(shù)在點x可導.且有: 注:通過此定理我們可以發(fā)現(xiàn):反函數(shù)的導數(shù)等于原函數(shù)導數(shù)的倒數(shù).注:這里的反函數(shù)是以y為自變量的.我們沒有對它作記號變換. 即: 是對y求導.是對x求導 例題:求的導數(shù). 解答:此函數(shù)的反函數(shù)為.故則: 例題:求的導數(shù). 解答:此函數(shù)的反函數(shù)為.故則: 高階導數(shù) 我們知道.在物理學上變速直線運動的速度v對時間t的導數(shù).即: .而加速度a又是速度v對時間t的變化率.即速度v對時間t的導數(shù): .或.這種導數(shù)的導數(shù)叫做s對t的二階導數(shù).下面我們給出它的數(shù)學定義: 定義:函數(shù)的導數(shù)仍然是x的函數(shù).我們把的導數(shù)叫做函數(shù)的二階導數(shù).記作或.即:或.相應地.把的導數(shù)叫做函數(shù)的一階導數(shù).類似地.二階導數(shù)的導數(shù).叫做三階導數(shù).三階導數(shù)的導數(shù).叫做四階導數(shù).-.一般地(n-1)階導數(shù)的導數(shù)叫做n階導數(shù). 分別記作:..-.或..-. 二階及二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱高階導數(shù).由此可見.求高階導數(shù)就是多次接連地求導.所以.在求高階導數(shù)時可運用前面所學的求導方法. 例題:已知.求 解答:因為=a.故=0 例題:求對數(shù)函數(shù)的n階導數(shù). 解答:.... 一般地.可得 隱函數(shù)及其求導法則 我們知道用解析法表示函數(shù).可以有不同的形式.若函數(shù)y可以用含自變量x的算式表示.像y=sinx.y=1+3x等.這樣的函數(shù)叫顯函數(shù).前面我們所遇到的函數(shù)大多都是顯函數(shù). 一般地.如果方程F(x,y)=0中.令x在某一區(qū)間內(nèi)任取一值時.相應地總有滿足此方程的y值存在.則我們就說方程F(x,y)=0在該區(qū)間上確定了x的隱函數(shù)y.把一個隱函數(shù)化成顯函數(shù)的形式.叫做隱函數(shù)的顯化.注:有些隱函數(shù)并不是很容易化為顯函數(shù)的.那么在求其導數(shù)時該如何呢?下面讓我們來解決這個問題! 隱函數(shù)的求導 若已知F(x,y)=0.求時.一般按下列步驟進行求解: a):若方程F(x,y)=0.能化為的形式.則用前面我們所學的方法進行求導, b):若方程F(x,y)=0.不能化為的形式.則是方程兩邊對x進行求導.并把y看成x的函數(shù).用復合函數(shù)求導法則進行. 例題:已知.求 解答:此方程不易顯化.故運用隱函數(shù)求導法.兩邊對x進行求導. ..故= 注:我們對隱函數(shù)兩邊對x進行求導時.一定要把變量y看成x的函數(shù).然后對其利用復合函數(shù)求導法則進行求導. 例題:求隱函數(shù).在x=0處的導數(shù) 解答:兩邊對x求導.故.當x=0時.y=0.故. 有些函數(shù)在求導數(shù)時.若對其直接求導有時很不方便.像對某些冪函數(shù)進行求導時.有沒有一種比較直觀的方法呢?下面我們再來學習一種求導的方法:對數(shù)求導法 對數(shù)求導法 對數(shù)求導的法則:根據(jù)隱函數(shù)求導的方法.對某一函數(shù)先取函數(shù)的自然對數(shù).然后在求導.注:此方法特別適用于冪函數(shù)的求導問題. 例題:已知x＞0.求 此題若對其直接求導比較麻煩.我們可以先對其兩邊取自然對數(shù).然后再把它看成隱函數(shù)進行求導.就比較簡便些.如下 解答:先兩邊取對數(shù): .把其看成隱函數(shù).再兩邊求導 因為.所以 例題:已知.求 此題可用復合函數(shù)求導法則進行求導.但是比較麻煩.下面我們利用對數(shù)求導法進行求導 解答:先兩邊取對數(shù)再兩邊求導因為.所以 函數(shù)的微分 學習函數(shù)的微分之前.我們先來分析一個具體問題:一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響時.其邊長由x0變到了x0+△x.則此薄片的面積改變了多少? 解答:設此薄片的邊長為x.面積為A.則A是x的函數(shù): 薄片受溫度變化的影響面積的改變量.可以看成是當自變量x從x0取的增量△x時.函數(shù)A相應的增量△A.即:.從上式我們可以看出.△A分成兩部分.第一部分是△x的線性函數(shù).即下圖中紅色部分,第二部分即圖中的黑色部分.當△x→0時.它是△x的高階無窮小.表示為: 由此我們可以發(fā)現(xiàn).如果邊長變化的很小時.面積的改變量可以近似的用地一部分來代替.下面我們給出微分的數(shù)學定義: 函數(shù)微分的定義:設函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)有定義.x0及x0+△x在這區(qū)間內(nèi).若函數(shù)的增量可表示為.其中A是不依賴于△x的常數(shù).是△x的高階無窮小.則稱函數(shù)在點x0可微的.叫做函數(shù)在點x0相應于自變量增量△x的微分.記作dy.即:=. 通過上面的學習我們知道:微分是自變量改變量△x的線性函數(shù).dy與△y的差是關于△x的高階無窮小量.我們把dy稱作△y的線性主部.于是我們又得出:當△x→0時.△y≈dy.導數(shù)的記號為: .現(xiàn)在我們可以發(fā)現(xiàn).它不僅表示導數(shù)的記號.而且還可以表示兩個微分的比值(把△x看成dx,即:定義自變量的增量等于自變量的微分).還可表示為: 由此我們得出:若函數(shù)在某區(qū)間上可導.則它在此區(qū)間上一定可微.反之亦成立. 微分形式不變性 什么是微分形式不邊形呢? 設.則復合函數(shù)的微分為: . 由于.故我們可以把復合函數(shù)的微分寫成 由此可見.不論u是自變量還是中間變量.的微分dy總可以用與du的乘積來表示. 我們把這一性質(zhì)稱為微分形式不變性. 例題:已知.求dy 解答:把2x+1看成中間變量u.根據(jù)微分形式不變性.則 通過上面的學習.我們知道微分與導數(shù)有著不可分割的聯(lián)系.前面我們知道基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù) 的運算法則.那么基本初等函數(shù)的微分公式和微分運算法則是怎樣的呢? 下面我們來學習---基本初等函數(shù)的微分公式與微分的運算法則 基本初等函數(shù)的微分公式與微分的運算法則 基本初等函數(shù)的微分公式 由于函數(shù)微分的表達式為:.于是我們通過基本初等函數(shù)導數(shù)的公式可得出基本初等函數(shù)微分的公式.下面我們用表格來把基本初等函數(shù)的導數(shù)公式與微分公式對比一下: 導數(shù)公式 微分公式 微分運算法則 由函數(shù)和.差.積.商的求導法則.可推出相應的微分法則.為了便于理解.下面我們用表格來把微分的運算法則與導數(shù)的運算法則對照一下: 函數(shù)和.差.積.商的求導法則 函數(shù)和.差.積.商的微分法則 復合函數(shù)的微分法則就是前面我們學到的微分形式不變性.在此不再詳述. 例題:設.求對x3的導數(shù) 解答:根據(jù)微分形式的不變性 微分的應用 微分是表示函數(shù)增量的線性主部.計算函數(shù)的增量.有時比較困難.但計算微分則比較簡單.為此我們用函數(shù)的微分來近似的代替函數(shù)的增量.這就是微分在近似計算中的應用. 例題:求的近似值. 解答:我們發(fā)現(xiàn)用計算的方法特別麻煩.為此把轉(zhuǎn)化為求微分的問題 故其近似值為1.025 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

導數(shù)的概念

(1)對于函數(shù)y＝f(x)，我們把式子稱為函數(shù)f(x)從x1到x2的_________．換言之，如果自變量x在x0處有增量Δx，那么函數(shù)f(x)相應地有增量_________；比值_________就叫做函數(shù)y＝f(x)在x0到x0＋Δx之間的_________．

(2)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變化率是_________，我們稱它為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的_________，記作_________，即(x0)＝_________．

(3)函數(shù)f(x)的導數(shù)(x)就是x的一個函數(shù)．我們稱它為f(x)的_________，簡稱_________，記作_________．

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導數(shù)的概念

(1)對于函數(shù)y＝f(x)，如果自變量x在x0處有增數(shù)Δx，那么函數(shù)y相應地有增量_________；比值_________就叫做函數(shù)y＝f(x)在x0到x0＋Δx之間的_________．

(2)當Δx→0時，有極限，我們就說y＝f(x)在點x0處_________，并把這個極限叫做f(x)在點x0處的導數(shù)(或變化率)記作_________或_________，即(x0)＝_________＝_________，函數(shù)f(x)的導數(shù)(x)就是當Δx→0時，函數(shù)的增量Δy與自變量的增量Δx的比的極限，即(x)＝_________＝_________．

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A.

【命題意圖】本題考查導數(shù)的概念與幾何意義，中等題.

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已知拋物線C：與圓有一個公共點A，且在A處兩曲線的切線與同一直線l

（I）     求r；

（II）   設m、n是異于l且與C及M都相切的兩條直線，m、n的交點為D，求D到l的距離。

【解析】本試題考查了拋物線與圓的方程，以及兩個曲線的公共點處的切線的運用，并在此基礎上求解點到直線的距離。

【點評】該試題出題的角度不同于平常，因為涉及的是兩個二次曲線的交點問題，并且要研究兩曲線在公共點出的切線，把解析幾何和導數(shù)的工具性結(jié)合起來，是該試題的創(chuàng)新處。另外對于在第二問中更是難度加大了，出現(xiàn)了另外的兩條公共的切線，這樣的問題對于我們以后的學習也是一個需要練習的方向。

 

 

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某中學高三（1）班共有50名學生，他們每天自主學習的時間在180到330分鐘之間，將全班學生的自主學習時間作分組統(tǒng)計，得其頻率分布如下表所示：
組序 分組 頻數(shù) 頻率
第一組 [180，210） 5 0.1
第二組 [210，240） 10 0.2
第三組 [240，270） 12 0.24
第四組 [270，300） a b
第五組 [300，330） 6 c
（1）求表中的a、b、c的值；
（2）某課題小組為了研究自主學習時間與成績的相關性，需用分層抽樣方法，從這50名學生中隨機抽取20名作統(tǒng)計分析，求在第二組學生中應抽取多少人？
（3）已知第一組學生中有3名男生和2名女生，從這5名學生中隨機抽取2人，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．

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