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微分學(xué)中值定理在給出微分學(xué)中值定理的數(shù)學(xué)定義之前.我們先從幾何的角度看一個問題.如下: 設(shè)有連續(xù)函數(shù).a與b是它定義區(qū)間內(nèi)的兩點.假定此函數(shù)在(a,b)處處可導(dǎo).也就是在(a,b)內(nèi)的函數(shù)圖形上處處都由切線.那末我們從圖形上容易直到. 差商就是割線AB的斜率.若我們把割線AB作平行于自身的移動.那么至少有一次機(jī)會達(dá)到離割線最遠(yuǎn)的一點P(x=c)處成為曲線的切線.而曲線的斜率為.由于切線與割線是平行的.因此成立. 注:這個結(jié)果就稱為微分學(xué)中值定理.也稱為拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理如果函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù).在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo).那末在(a,b)內(nèi)至少有一點c.使成立. 這個定理的特殊情形.即:的情形.稱為羅爾定理.描述如下: 若在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù).在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo).且.那末在(a,b)內(nèi)至少有一點c.使成立. 注:這個定理是羅爾在17世紀(jì)初.在微積分發(fā)明之前以幾何的形式提出來的. 注:在此我們對這兩個定理不加以證明.若有什么疑問.請參考相關(guān)書籍下面我們在學(xué)習(xí)一條通過拉格朗日中值定理推廣得來的定理--柯西中值定理柯西中值定理如果函數(shù).在閉區(qū)間[a.b]上連續(xù).在開區(qū)間(a.b)內(nèi)可導(dǎo).且≠0.那末在(a.b)內(nèi)至少有一點c.使成立. 例題:證明方程在0與1之間至少有一個實根證明:不難發(fā)現(xiàn)方程左端是函數(shù)的導(dǎo)數(shù): 函數(shù)在[0.1]上連續(xù).在(0,1)內(nèi)可導(dǎo).且.由羅爾定理可知.在0與1之間至少有一點c.使.即也就是:方程在0與1之間至少有一個實根未定式問題問題:什么樣的式子稱作未定式呢? 答案:對于函數(shù),來說.當(dāng)x→a時.函數(shù),都趨于零或無窮大則極限可能存在.也可能不存在.我們就把式子稱為未定式.分別記為型我們?nèi)菀字?對于未定式的極限求法.是不能應(yīng)用"商的極限等于極限的商"這個法則來求解的.那么我們該如何求這類問題的極限呢? 下面我們來學(xué)習(xí)羅彼塔法則.它就是這個問題的答案注:它是根據(jù)柯西中值定理推出來的. 羅彼塔法則當(dāng)x→a時.函數(shù),都趨于零或無窮大.在點a的某個去心鄰域內(nèi)時.與都存在.≠0.且存在則:= 這種通過分子分母求導(dǎo)再來求極限來確定未定式的方法.就是所謂的羅彼塔法則注:它是以前求極限的法則的補充.以前利用法則不好求的極限.可利用此法則求解. 例題:求解答:容易看出此題利用以前所學(xué)的法則是不易求解的.因為它是未定式中的型求解問題.因此我們就可以利用上面所學(xué)的法則了. 例題:求解答:此題為未定式中的型求解問題.利用羅彼塔法則來求解另外.若遇到 .. . . 等型.通常是轉(zhuǎn)化為型后.在利用法則求解. 例題:求解答:此題利用以前所學(xué)的法則是不好求解的.它為型.故可先將其轉(zhuǎn)化為型后在求解. 注:羅彼塔法則只是說明:對未定式來說.當(dāng)存在.則存在且二者的極限相同,而并不是不存在時.也不存在.此時只是說明了羅彼塔法則存在的條件破列. 函數(shù)單調(diào)性的判定法函數(shù)的單調(diào)性也就是函數(shù)的增減性.怎樣才能判斷函數(shù)的增減性呢? 我們知道若函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)增.則在此區(qū)間內(nèi)函數(shù)圖形上切線的斜率均為正,也就是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在此區(qū)間上均取正值.因此我們可通過判定函數(shù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來判定函數(shù)的增減性. 判定方法: 設(shè)函數(shù)在[a,b]上連續(xù).在:如果在(a,b)內(nèi)＞0.那末函數(shù)在[a,b]上單調(diào)增加, b):如果在(a,b)內(nèi)＜0.那末函數(shù)在[a,b]上單調(diào)減少. 例題:確定函數(shù)的增減區(qū)間. 解答:容易確定此函數(shù)的定義域為其導(dǎo)數(shù)為:.因此可以判出: 當(dāng)x＞0時.＞0.故它的單調(diào)增區(qū)間為, 當(dāng)x＜0時.＜0.故它的單調(diào)減區(qū)間為, 注:此判定方法若反過來講.則是不正確的. 函數(shù)的極值及其求法在學(xué)習(xí)函數(shù)的極值之前.我們先來看一例子: 設(shè)有函數(shù).容易知道點x=1及x=2是此函數(shù)單調(diào)區(qū)間的分界點.又可知在點x=1左側(cè)附近.函數(shù)值是單調(diào)增加的.在點x=1右側(cè)附近.函數(shù)值是單調(diào)減小的.因此存在著點x=1的一個鄰域,對于這個鄰域內(nèi),任何點x.＜均成立.點x=2也有類似的情況,為什么這些點有這些性質(zhì)呢? 事實上.這就是我們將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容--函數(shù)的極值. 函數(shù)極值的定義設(shè)函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有定義.x0是(a,b)內(nèi)一點. 若存在著x0點的一個鄰域.對于這個鄰域內(nèi)任何點x(x0點除外).＜均成立. 則說是函數(shù)的一個極大值, 若存在著x0點的一個鄰域.對于這個鄰域內(nèi)任何點x(x0點除外).＞均成立. 則說是函數(shù)的一個極小值. 函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值.使函數(shù)取得極值的點稱為極值點. 我們知道了函數(shù)極值的定義了.怎樣求函數(shù)的極值呢? 學(xué)習(xí)這個問題之前.我們再來學(xué)習(xí)一個概念--駐點凡是使的x點.稱為函數(shù)的駐點. 判斷極值點存在的方法有兩種:如下方法一: 設(shè)函數(shù)在x0點的鄰域可導(dǎo).且. 情況一:若當(dāng)x取x0左側(cè)鄰近值時.＞0.當(dāng)x取x0右側(cè)鄰近值時.＜0. 則函數(shù)在x0點取極大值. 情況一:若當(dāng)x取x0左側(cè)鄰近值時.＜0.當(dāng)x取x0右側(cè)鄰近值時.＞0. 則函數(shù)在x0點取極小值. 注:此判定方法也適用于導(dǎo)數(shù)在x0點不存在的情況. 用方法一求極值的一般步驟是: a):求, b):求的全部的解--駐點, c):判斷在駐點兩側(cè)的變化規(guī)律.即可判斷出函數(shù)的極值. 例題:求極值點解答:先求導(dǎo)數(shù) 再求出駐點:當(dāng)時.x=-2.1.-4/5 判定函數(shù)的極值.如下圖所示方法二: 設(shè)函數(shù)在x0點具有二階導(dǎo)數(shù).且時. 則:a):當(dāng)＜0.函數(shù)在x0點取極大值, b):當(dāng)＞0.函數(shù)在x0點取極小值, c):當(dāng)=0.其情形不一定.可由方法一來判定. 例題:我們?nèi)砸岳?為例.以比較這兩種方法的區(qū)別. 解答:上面我們已求出了此函數(shù)的駐點.下面我們再來求它的二階導(dǎo)數(shù). .故此時的情形不確定.我們可由方法一來判定, ＜0.故此點為極大值點, ＞0.故此點為極小值點. 函數(shù)的最大值.最小值及其應(yīng)用在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn).工程技術(shù)及科學(xué)實驗中.常會遇到這樣一類問題:在一定條件下.怎樣使"產(chǎn)品最多"."用料最省"."成本最低"等. 這類問題在數(shù)學(xué)上可歸結(jié)為求某一函數(shù)的最大值.最小值的問題. 怎樣求函數(shù)的最大值.最小值呢?前面我們已經(jīng)知道了.函數(shù)的極值是局部的.要求在[a,b]上的最大值.最小值時.可求出開區(qū)間(a,b)內(nèi)全部的極值點.加上端點的值.從中取得最大值.最小值即為所求. 例題:求函數(shù).在區(qū)間[-3.3/2]的最大值.最小值. 解答:在此區(qū)間處處可導(dǎo). 先來求函數(shù)的極值.故x=±1. 再來比較端點與極值點的函數(shù)值.取出最大值與最小值即為所求. 因為... 故函數(shù)的最大值為.函數(shù)的最小值為. 例題:圓柱形罐頭.高度H與半徑R應(yīng)怎樣配.使同樣容積下材料最省? 解答:由題意可知:為一常數(shù). 面積故在V不變的條件下.改變R使S取最小值. 故:時.用料最省. 曲線的凹向與拐點通過前面的學(xué)習(xí).我們知道由一階導(dǎo)數(shù)的正負(fù).可以判定出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.但是還不能進(jìn)一步研究曲線的性態(tài).為此我們還要了解曲線的凹性. 定義: 對區(qū)間I的曲線作切線.如果曲線弧在所有切線的下面.則稱曲線在區(qū)間I下凹.如果曲線在切線的上面.稱曲線在區(qū)間I上凹. 曲線凹向的判定定理定理一:設(shè)函數(shù)在區(qū)間(a,b)上可導(dǎo).它對應(yīng)曲線是向上凹的充分必要條件是: 導(dǎo)數(shù)在區(qū)間(a,b)上是單調(diào)增. 定理二:設(shè)函數(shù)在區(qū)間(a,b)上可導(dǎo).并且具有一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù),那末: 若在(a,b)內(nèi).＞0.則在[a,b]對應(yīng)的曲線是下凹的, 若在(a,b)內(nèi).＜0.則在[a,b]對應(yīng)的曲線是上凹的, 例題:判斷函數(shù)的凹向解答:我們根據(jù)定理二來判定. 因為.所以在函數(shù)的定義域內(nèi).＜0. 故函數(shù)所對應(yīng)的曲線時下凹的. 拐點的定義連續(xù)函數(shù)上.上凹弧與下凹弧的分界點稱為此曲線上的拐點. 拐定的判定方法如果在區(qū)間(a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù).我們可按下列步驟來判定的拐點. (1):求, (2):令=0.解出此方程在區(qū)間:對于(2)中解出的每一個實根x0.檢查在x0左.右兩側(cè)鄰近的符號.若符號相反.則此點是拐點.若相同.則不是拐點. 例題:求曲線的拐點. 解答:由. 令=0.得x=0.2/3 判斷在0.2/3左.右兩側(cè)鄰近的符號.可知此兩點皆是曲線的拐點. 【查看更多】

題目列表(包括答案和解析)

已知函數(shù)f（x）=mx³+nx²（m、n∈R，m≠0）的圖象在（2，f（2））處的切線與x軸平行．
（1）求n，m的關(guān)系式并求f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）證明：對任意實數(shù)0＜x₁＜x₂＜1，關(guān)于x的方程：f′(x)-

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=0在（x₁，x₂）恒有實數(shù)解
（3）結(jié)合（2）的結(jié)論，其實我們有拉格朗日中值定理：若函數(shù)f（x）是在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷的函數(shù)，且在區(qū)間（a，b）內(nèi)導(dǎo)數(shù)都存在，則在（a，b）內(nèi)至少存在一點x₀，使得f′(x0)=

f(b)-f(a)

b-a

．如我們所學(xué)過的指、對數(shù)函數(shù)，正、余弦函數(shù)等都符合拉格朗日中值定理條件．試用拉格朗日中值定理證明：
當(dāng)0＜a＜b時，

b-a

＜ln

＜

b-a

（可不用證明函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo)性）．

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