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不定積分的概念原函數(shù)的概念已知函數(shù)f(x)是一個定義在某區(qū)間的函數(shù).如果存在函數(shù)F(x).使得在該區(qū)間內(nèi)的任一點都有 dF'dx. 則在該區(qū)間內(nèi)就稱函數(shù)F的原函數(shù). 例:sinx是cosx的原函數(shù). 關(guān)于原函數(shù)的問題函數(shù)f(x)滿足什么條件是.才保證其原函數(shù)一定存在呢?這個問題我們以后來解決.若其存在原函數(shù).那末原函數(shù)一共有多少個呢? 我們可以明顯的看出來:若函數(shù)F的原函數(shù). 即:F". 則函數(shù)族F中的任一個函數(shù)一定是f(x)的原函數(shù). 故:若函數(shù)f(x)有原函數(shù).那末其原函數(shù)為無窮多個. 不定積分的概念函數(shù)f(x)的全體原函數(shù)叫做函數(shù)f(x)的不定積分. 記作. 由上面的定義我們可以知道:如果函數(shù)F的一個原函數(shù).那末f(x)的不定積分就是函數(shù)族 F(x)+C. 即:=F(x)+C 例題:求:. 解答:由于.故= 不定積分的性質(zhì) 1.函數(shù)的和的不定積分等于各個函數(shù)的不定積分的和, 即: 2.求不定積分時.被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以提到積分號外面來. 即: 求不定積分的方法換元法換元法具有原函數(shù)F可導(dǎo).那末F[g的原函數(shù). 即有換元公式: 例題:求解答:這個積分在基本積分表中是查不到的.故我們要利用換元法. 設(shè)u=2x.那末cos2x=cosu.du=2dx.因此: 換元法是單調(diào)的.可導(dǎo)的函數(shù).并且g']g'. 則φ[g的原函數(shù).的反函數(shù)) 即有換元公式: 例題:求解答:這個積分的困難在于有根式.但是我們可以利用三角公式來換元. 設(shè)x=asint.那末.dx=acostdt,于是有: 關(guān)于換元法的問題不定積分的換元法是在復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的基礎(chǔ)上得來的.我們應(yīng)根據(jù)具體實例來選擇所用的方法.求不定積分不象求導(dǎo)那樣有規(guī)則可依.因此要想熟練的求出某函數(shù)的不定積分.只有作大量的練習(xí). 分部積分法這種方法是利用兩個函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則得來的. 設(shè)函數(shù)u=u具有連續(xù)導(dǎo)數(shù).我們知道.兩個函數(shù)乘積的求導(dǎo)公式為: (uv)'=u'v+uv'.移項.得 uv'=(uv)'-u'v.對其兩邊求不定積分得: . 這就是分部積分公式例題:求解答:這個積分用換元法不易得出結(jié)果.我們來利用分部積分法. 設(shè)u=x.dv=cosxdx.那末du=dx.v=sinx.代入分部積分公式得: 關(guān)于分部積分法的問題在使用分部積分法時.應(yīng)恰當(dāng)?shù)倪x取u和dv.否則就會南轅北轍.選取u和dv一般要考慮兩點: (1)v要容易求得, (2)容易積出. 幾種特殊類型函數(shù)的積分舉例有理函數(shù)的積分舉例有理函數(shù)是指兩個多項式的商所表示的函數(shù).當(dāng)分子的最高項的次數(shù)大于分母最高項的次數(shù)時稱之為假分式. 反之為真分式. 在求有理函數(shù)的不定積分時.若有理函數(shù)為假分式應(yīng)先利用多項式的除法.把一個假分式化成一個多項式和一個真分式之和的形式.然后再求之. 例題:求解答: 關(guān)于有理函數(shù)積分的問題有理函數(shù)積分的具體方法請大家參照有關(guān)書籍.請諒. 三角函數(shù)的有理式的積分舉例三角函數(shù)的有理式是指由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算所構(gòu)成的函數(shù). 例題:求解答: 關(guān)于三角函數(shù)的有理式的積分的問題任何三角函數(shù)都可用正弦與余弦函數(shù)表出.故變量代換u=tan(x/2)對三角函數(shù)的有理式的積分應(yīng)用.在此我們不再舉例. 簡單無理函數(shù)的積分舉例例題:求解答:設(shè).于是x=u2+1.dx=2udu.從而所求積分為: 【查看更多】

題目列表(包括答案和解析)

定積分的大小