定積分的概念我們先來(lái)看一個(gè)實(shí)際問(wèn)題---求曲邊梯形的面積. 設(shè)曲邊梯形是有連續(xù)曲線y=f(x).x軸與直線x=a.x=b所圍成.如下圖所示: 現(xiàn)在計(jì)算它的面積A.我們知道矩形面積的求法.但是此圖形有一邊是一條曲線.該如何求呢? 我們知道曲邊梯形在底邊上各點(diǎn)處的高f(x)在區(qū)間[a,b]上變動(dòng).而且它的高是連續(xù)變化的.因此在很小的一段區(qū)間的變化很小.近似于不變.并且當(dāng)區(qū)間的長(zhǎng)度無(wú)限縮小時(shí).高的變化也無(wú)限減小.因此.如果把區(qū)間[a,b]分成許多小區(qū)間.在每個(gè)小區(qū)間上.用其中某一點(diǎn)的高來(lái)近似代替同一個(gè)小區(qū)間上的窄曲變梯形的變高.我們?cè)俑鶕?jù)矩形的面積公式.即可求出相應(yīng)窄曲邊梯形面積的近似值.從而求出整個(gè)曲邊梯形的近似值. 顯然:把區(qū)間[a,b]分的越細(xì).所求出的面積值越接近于精確值.為此我們產(chǎn)生了定積分的概念. 定積分的概念設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上有界.在[a,b]中任意插入若干個(gè)分點(diǎn) a=x0<x1<...<xn-1<xn=b 把區(qū)間[a,b]分成n個(gè)小區(qū)間 [x0.x1]....[xn-1,xn], 在每個(gè)小區(qū)間[xi-1,xi]上任取一點(diǎn)ξi(xi-1≤ξi≤xi),作函數(shù)值f(ξi)與小區(qū)間長(zhǎng)度的乘積f(ξi)△xi. 并作出和. 如果不論對(duì)[a,b]怎樣分法.也不論在小區(qū)間上的點(diǎn)ξi怎樣取法.只要當(dāng)區(qū)間的長(zhǎng)度趨于零時(shí).和S總趨于確定的極限I. 這時(shí)我們稱(chēng)這個(gè)極限I為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分. 記作. 即: 關(guān)于定積分的問(wèn)題我們有了定積分的概念了.那么函數(shù)f(x)滿足什么條件時(shí)才可積? 定理在區(qū)間[a,b]上連續(xù).則f(x)在區(qū)間[a,b]上可積. 在區(qū)間[a,b]上有界.且只有有限個(gè)間斷點(diǎn).則f(x)在區(qū)間[a,b]上可積. 定積分的性質(zhì) 性質(zhì)得定積分等于它們的定積分的和(差). 即: 性質(zhì)(2):被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)外面. 即: 性質(zhì)(3):如果在區(qū)間[a,b]上.f.則≤ :設(shè)M及m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值及最小值.則 m(b-a)≤≤M:如果f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù).則在積分區(qū)間[a,b]上至少存在一點(diǎn)ξ.使下式成立: =f 注:此性質(zhì)就是定積分中值定理. 微積分積分公式積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù) 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù).并且設(shè)x為[a,b]上的一點(diǎn).現(xiàn)在我們來(lái)考察f(x)在部分區(qū)間[a,x]上的定積分,我們知道f(x)在[a,x]上仍舊連續(xù).因此此定積分存在. 如果上限x在區(qū)間[a,b]上任意變動(dòng).則對(duì)于每一個(gè)取定的x值.定積分有一個(gè)對(duì)應(yīng)值.所以它在[a,b]上定義了一個(gè)函數(shù).記作φ(x): 注意:為了明確起見(jiàn).我們改換了積分變量(定積分與積分變量的記法無(wú)關(guān)) 定理在區(qū)間[a,b]上連續(xù).則積分上限的函數(shù)在[a,b]上具有導(dǎo)數(shù). 并且它的導(dǎo)數(shù)是 :如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù).則函數(shù)就是f(x)在[a,b]上的一個(gè)原函數(shù). 注意:定理(2)即肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的.又初步揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系. 牛頓--萊布尼茲公式定理是連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的一個(gè)原函數(shù).則注意:此公式被稱(chēng)為牛頓-萊布尼茲公式.它進(jìn)一步揭示了定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系. 它表明:一個(gè)連續(xù)函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的定積分等于它的任一個(gè)原函數(shù)再去見(jiàn)[a,b]上的增量.因此它就給定積分提供了一個(gè)有效而簡(jiǎn)便的計(jì)算方法. 例題:求解答:我們由牛頓-萊布尼茲公式得: 注意:通常也把牛頓--萊布尼茲公式稱(chēng)作微積分基本公式. 定積分的換元法與分部積分法定積分的換元法我們知道求定積分可以轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的增量.在前面我們又知道用換元法可以求出一些函數(shù)的原函數(shù).因此.在一定條件下.可以用換元法來(lái)計(jì)算定積分. 定理:設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),函數(shù)g(t)在區(qū)間[m,n]上是單值的且有連續(xù)導(dǎo)數(shù),當(dāng)t在區(qū)間[m,n]上變化時(shí).x=g(t)的值在[a,b]上變化.且g=b,則有定積分的換元公式: 例題:計(jì)算解答:設(shè)x=asint,則dx=acostdt,且當(dāng)x=0時(shí).t=0,當(dāng)x=a時(shí).t=π/2.于是: 注意:在使用定積分的換元法時(shí).當(dāng)積分變量變換時(shí).積分的上下限也要作相應(yīng)的變換. 定積分的分部積分法計(jì)算不定積分有分部積分法.相應(yīng)地.計(jì)算定積分也有分部積分法. 設(shè)u在區(qū)間[a,b]上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)u''=u'v+uv',分別求此等式兩端在[a,b]上的定積分.并移向得: 上式即為定積分的分部積分公式. 例題:計(jì)算解答:設(shè).且當(dāng)x=0時(shí).t=0,當(dāng)x=1時(shí).t=1.由前面的換元公式得: 再用分部積分公式計(jì)算上式的右端的積分.設(shè)u=t,dv=etdt,則du=dt,v=et.于是: 故: 廣義積分在一些實(shí)際問(wèn)題中.我們常遇到積分區(qū)間為無(wú)窮區(qū)間.或者被積函數(shù)在積分區(qū)間上具有無(wú)窮間斷點(diǎn)的積分.它們已不屬于前面我們所學(xué)習(xí)的定積分了.為此我們對(duì)定積分加以推廣.也就是---廣義積分. 一:積分區(qū)間為無(wú)窮區(qū)間的廣義積分設(shè)函數(shù)f上連續(xù).取b>a.如果極限存在. 則此極限叫做函數(shù)f上的廣義積分. 記作:. 即:=. 此時(shí)也就是說(shuō)廣義積分收斂.如果上述即先不存在.則說(shuō)廣義積分發(fā)散.此時(shí)雖然用同樣的記號(hào).但它已不表示數(shù)值了. 類(lèi)似地.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞.b]上連續(xù).取a<b.如果極限存在. 則此極限叫做函數(shù)f(x)在無(wú)窮區(qū)間(-∞.b]上的廣義積分. 記作:. 即:=. 此時(shí)也就是說(shuō)廣義積分收斂.如果上述極限不存在.就說(shuō)廣義積分發(fā)散. 如果廣義積分和都收斂.則稱(chēng)上述兩廣義積分之和為函數(shù)f上的廣義積分. 記作:. 即:= 上述廣義積分統(tǒng)稱(chēng)積分區(qū)間為無(wú)窮的廣義積分. 例題:計(jì)算廣義積分解答: 二:積分區(qū)間有無(wú)窮間斷點(diǎn)的廣義積分設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b]上連續(xù).而.取ε>0.如果極限存在.則極限叫做函數(shù)f(x)在(a,b]上的廣義積分. 仍然記作:. 即:=. 這時(shí)也說(shuō)廣義積分收斂.如果上述極限不存在.就說(shuō)廣義積分發(fā)散. 類(lèi)似地.設(shè)f上連續(xù).而.取ε>0.如果極限存在. 則定義=, 否則就說(shuō)廣義積分發(fā)散. 又.設(shè)f(x)在[a,b]上除點(diǎn)c外連續(xù).而.如果兩個(gè)廣義積分和都收斂. 則定義:=+. 否則就說(shuō)廣義積分發(fā)散. 例題:計(jì)算廣義積分解答:因?yàn)?所以x=a為被積函數(shù)的無(wú)窮間斷點(diǎn).于是我們有上面所學(xué)得公式可得: 【查看更多】

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定積分的大小