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多元函數(shù)的概念 我們前面所學(xué)的函數(shù)的自變量的個數(shù)都是一個.但是在實際問題中.所涉及的函數(shù)的自變量的個數(shù)往往是兩個.或者更多. 例:一個圓柱體的體積與兩個獨(dú)立變量r,h有關(guān).` 我們先以二個獨(dú)立的變量為基礎(chǔ).來給出二元函數(shù)的定義. 二元函數(shù)的定義 設(shè)有兩個獨(dú)立的變量x與y在其給定的變域中D中.任取一組數(shù)值時.第三個變量z就以某一確定的法則有唯一確定的值與其對應(yīng).那末變量z稱為變量x與y的二元函數(shù). 記作:z=f(x,y). 其中x與y稱為自變量.函數(shù)z也叫做因變量.自變量x與y的變域D稱為函數(shù)的定義域. 關(guān)于二元函數(shù)的定義域的問題 我們知道一元函數(shù)的定義域一般來說是一個或幾個區(qū)間.二元函數(shù)的定義域通常是由平面上一條或幾段光滑曲線所圍成的連通的部分平面.這樣的部分在平面稱為區(qū)域.圍成區(qū)域的曲線稱為區(qū)域的邊界.邊界上的點稱為邊界點.包括邊界在內(nèi)的區(qū)域稱為閉域.不包括邊界在內(nèi)的區(qū)域稱為開域. 如果一個區(qū)域D中任意兩點之間的距離都不超過某一常數(shù)M.則稱D為有界區(qū)域,否則稱D為無界區(qū)域.常見的區(qū)域有矩形域和圓形域.如下圖所示: 例題:求的定義域. 解答:該函數(shù)的定義域為:x≥,y≥0. 二元函數(shù)的幾何表示 把自變量x.y及因變量z當(dāng)作空間點的直角坐標(biāo).先在xOy平面內(nèi)作出函數(shù)z=f(x,y)的定義域D,再過D域中得任一點M(x,y)作垂直于xOy平面的有向線段MP,使其值為與(x,y)對應(yīng)的函數(shù)值z, 當(dāng)M點在D中變動時.對應(yīng)的P點的軌跡就是函數(shù)z=f(x,y)的幾何圖形.它通常是一張曲面. 其定義域D就是此曲面在xOy平面上的投影. 二元函數(shù)的極限及其連續(xù)性 在一元函數(shù)中.我們曾學(xué)習(xí)過當(dāng)自變量趨向于有限值時函數(shù)的極限.對于二元函數(shù)z=f(x,y)我們同樣可以學(xué)習(xí)當(dāng)自變量x與y趨向于有限值ξ與η時.函數(shù)z的變化狀態(tài). 在平面xOy上.的方式可以時多種多樣的.因此二元函數(shù)的情況要比一元函數(shù)復(fù)雜得多.如果當(dāng)點(x,y)以任意方式趨向點總是趨向于一個確定的常數(shù)A. 那末就稱A是二元函數(shù)f時的極限. 這種極限通常稱為二重極限. 下面我們用ε-δ語言給出二重極限的嚴(yán)格定義: 二重極限的定義 如果定義于的某一去心鄰域的一個二元函數(shù)f(x,y)跟一個確定的常數(shù)A有如下關(guān)系:對于任意給定的正數(shù)ε.無論怎樣小.相應(yīng)的必有另一個正數(shù)δ.凡是滿足 的一切(x,y)都使不等式 成立. 那末常數(shù)A稱為函數(shù)f時的二重極限. 正像一元函數(shù)的極限一樣.二重極限也有類似的運(yùn)算法則: 二重極限的運(yùn)算法則 如果當(dāng)時.f→B. 那末→A±B, .g(x,y)→A.B, →A/B,其中B≠0 像一元函數(shù)一樣.我們可以利用二重極限來給出二元函數(shù)連續(xù)的定義: 二元函數(shù)的連續(xù)性 如果當(dāng)點(x,y)趨向點(x0,y0)時.函數(shù)f(x,y)的二重極限等于f(x,y)在點(x0,y0)處的函數(shù)值f(x0,y0).那末稱函數(shù)f(x,y)在點(x0,y0)處連續(xù).如果f(x,y)在區(qū)域D的每一點都連續(xù).那末稱它在區(qū)域D連續(xù). 如果函數(shù)z=f(x,y)在(x0,y0)不滿足連續(xù)的定義.那末我們就稱(x0,y0)是f(x,y)的一個間斷點. 關(guān)于二元函數(shù)間斷的問題 二元函數(shù)間斷點的產(chǎn)生與一元函數(shù)的情形類似.但是二元函數(shù)間斷的情況要比一元函數(shù)復(fù)雜.它除了有間斷點.還有間斷線. 二元連續(xù)函數(shù)的和.差.積.商和復(fù)合函數(shù)仍是連續(xù)函數(shù). 例題:求下面函數(shù)的間斷線 解答:x=0與y=0都是函數(shù)的間斷線. 偏導(dǎo)數(shù) 在一元函數(shù)中.我們已經(jīng)知道導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)的變化率.對于二元函數(shù)我們同樣要研究它的"變化率".然而.由于自變量多了一個.情況就要復(fù)雜的多.在xOy平面內(nèi).當(dāng)變點由(x0,y0)沿不同方向變化時.函數(shù)f(x,y)的變化快慢一般說來時不同的.因此就需要研究f(x,y)在(x0,y0)點處沿不同方向的變化率. 在這里我們只學(xué)習(xí)(x,y)沿著平行于x軸和平行于y軸兩個特殊方位變動時f(x,y)的變化率. 偏導(dǎo)數(shù)的定義 設(shè)有二元函數(shù)z=f(x,y).點(x0,y0)是其定義域D內(nèi)一點.把y固定在y0而讓x在x0有增量△x.相應(yīng)地函數(shù) z=f(x,y)有增量 △xz=f(x0+△x)-f(x0,y0). 如果△xz與△x之比當(dāng)△x→0時的極限 存在. 那末此極限值稱為函數(shù)z=f(x,y)在(x0,y0)處對x的偏導(dǎo)數(shù). 記作:f'x(x0,y0)或 關(guān)于對x的偏導(dǎo)數(shù)的問題 函數(shù)z=f(x,y)在(x0,y0)處對x的偏導(dǎo)數(shù).實際上就是把y固定在y0看成常數(shù)后.一元函數(shù)z=f(x,y0)在x0處的導(dǎo)數(shù) 同樣.把x固定在x0,讓y有增量△y,如果極限 存在. 那末此極限稱為函數(shù)z=(x,y)在(x0,y0)處對y的偏導(dǎo)數(shù). 記作f'y(x0,y0)或 偏導(dǎo)數(shù)的求法 當(dāng)函數(shù)z=f(x,y)在(x0,y0)的兩個偏導(dǎo)數(shù)f'x(x0,y0)與f'y(x0,y0)都存在時. 我們稱f(x,y)在(x0,y0)處可導(dǎo).如果函數(shù)f(x,y)在域D的每一點均可導(dǎo). 那末稱函數(shù)f(x,y)在域D可導(dǎo). 此時.對應(yīng)于域D的每一點的偏導(dǎo)數(shù).因而在域D確定了一個新的二元函數(shù). 稱為f的偏導(dǎo)函數(shù).簡稱偏導(dǎo)數(shù). 例題:求z=x2siny的偏導(dǎo)數(shù) 解答:把y看作常量對x求導(dǎo)數(shù).得 把x看作常量對y求導(dǎo)數(shù).得 注意:二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的定義和求法可以推廣到三元和三元以上函數(shù). 例題:求的偏導(dǎo)數(shù). 解答:我們根據(jù)二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的求法來做. 把y和z看成常量對x求導(dǎo).得. 把x和z看成常量對y求導(dǎo).得. 把x和y看成常量對z求導(dǎo).得. 高階偏導(dǎo)數(shù) 如果二元函數(shù)z=f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)f'x(x,y)與f'y(x,y)仍然可導(dǎo). 那末這兩個偏導(dǎo)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)稱為z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù). 二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)有四個:f"xx.f"xy.f"yx.f"yy. 注意:f"xy與f"yx的區(qū)別在于:前者是先對x求偏導(dǎo).然后將所得的偏導(dǎo)函數(shù)再對y求偏導(dǎo),后者是先對y求偏導(dǎo)再對x求偏導(dǎo).當(dāng)f"xy與f"yx都連續(xù)時.求導(dǎo)的結(jié)果于求導(dǎo)的先后次序無關(guān). 例題:求函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù). 解答:.. 全微分 我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元函數(shù)的微分的概念了.現(xiàn)在我們用類似的思想方法來學(xué)習(xí)多元函數(shù)的的全增量.從而把微分的概念推廣到多元函數(shù). 這里我們以二元函數(shù)為例. 全微分的定義 函數(shù)z=f(x,y)的兩個偏導(dǎo)數(shù)f'x(x,y),f'y(x,y)分別與自變量的增量△x,△y乘積之和 f'x(x,y)△x+f'y(x,y)△y 若該表達(dá)式與函數(shù)的全增量△z之差. 當(dāng)ρ→0時.是ρ() 的高階無窮小. 那末該表達(dá)式稱為函數(shù)z=f處的全微分. 記作:dz=f'x(x,y)△x+f'y(x,y)△y 注意:其中△z=f'x(x,y)△x+f'y(x,y)△y+αρ.(α是當(dāng)ρ→0時的無窮小) 注意:在找函數(shù)相應(yīng)的全增量時.為了使△z與偏導(dǎo)數(shù)發(fā)生關(guān)系.我們把由(x0,y0)變到(x0+△x,y0+△y)的過程分為兩部:先由點(x0,y0)變到點(x0,y0+△y).再變到點(x0+△x,y0+△y).其過程如下圖所示: 例題:求的全微分 解答:由于. 所以 關(guān)于全微分的問題 如果偏導(dǎo)數(shù)f'x(x,y),f'y一定可微. 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法 在一元函數(shù)中.我們已經(jīng)知道.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式在求導(dǎo)法中所起的重要作用.對于多元函數(shù)來說也是如此.下面我們來學(xué)習(xí)多元函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式.我們先以二元函數(shù)為例: 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式 鏈導(dǎo)公式: 設(shè)均在(x,y)處可導(dǎo),函數(shù)z=F處有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù), 那末,復(fù)合函數(shù)在(x,y)處可導(dǎo),且有鏈導(dǎo)公式: 例題:求函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù) 解答:令 由于 而 由鏈導(dǎo)公式可得: 其中 上述公式可以推廣到多元.在此不詳述. 一個多元復(fù)合函數(shù).其一階偏導(dǎo)數(shù)的個數(shù)取決于此復(fù)合函數(shù)自變量的個數(shù).在一階偏導(dǎo)數(shù)的鏈導(dǎo)公式中.項數(shù)的多少取決于與此自變量有關(guān)的中間變量的個數(shù). 全導(dǎo)數(shù) 由二元函數(shù)z=f(u,v)和兩個一元函數(shù)復(fù)合起來的函數(shù)是x的一元函數(shù). 這時復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)就是一個一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù),稱為全導(dǎo)數(shù). 此時的鏈導(dǎo)公式為: 例題:設(shè)z=u2v.u=cosx.v=sinx.求 解答:由全導(dǎo)數(shù)的鏈導(dǎo)公式得: 將u=cosx.v=sinx代入上式.得: 關(guān)于全導(dǎo)數(shù)的問題 全導(dǎo)數(shù)實際上是一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù).只是求導(dǎo)的過程是借助于偏導(dǎo)數(shù)來完成而已. 多元函數(shù)的極值 在一元函數(shù)中我們看到.利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可以求得函數(shù)的極值.從而可以解決一些最大.最小值的應(yīng)用問題.多元函數(shù)也有類似的問題.這里我們只學(xué)習(xí)二元函數(shù)的極值問題. 二元函數(shù)極值的定義 如果在(x0,y0)的某一去心鄰域內(nèi)的一切點(x,y)恒有等式: f(x,y)≤f(x0,y0) 成立.那末就稱函數(shù)f(x,y)在點(x0,y0)處取得極大值f(x0,y0),如果恒有等式: f(x,y)≥f(x0,y0) 成立.那末就稱函數(shù)f(x,y)在點(x0,y0)處取得極小值f(x0,y0). 極大值與極小值統(tǒng)稱極值.使函數(shù)取得極值的點(x0,y0)稱為極值點. 二元可導(dǎo)函數(shù)在(x0,y0)取得極值的條件是:. 注意:此條件只是取得極值的必要條件. 凡是使的點的駐點.可導(dǎo)函數(shù)的極值點必為駐點.但駐點卻不一定是極值點. 二元函數(shù)極值判定的方法 設(shè)z=f(x,y)在(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù).如果.那末函數(shù)f(x,y)在(x0,y0)取得極值的條件如下表所示: △=B2-AC f(x0,y0) △＜0 A＜0時取極大值 A＞0時取極小值 △＞0 非極值 △=0 不定 其中 例題:求的極值. 解答:設(shè),則 .. . 解方程組.得駐點. 對于駐點(1,1)有,故 B2-AC=(-3)2-6.6=-27＜0.A=6＞0 因此.在點=-1. 對于駐點(0,0)有,故 B2-AC=(-3)2-0.0=9＞0 因此.在點(0,0)不取得極值. 多元函數(shù)的最大.最小值問題 我們已經(jīng)知道求一元函數(shù)極大值.極小值的步驟.對于多元函數(shù)的極大值.極小值的求解也可采用同樣的步驟.下面我們給出實際問題中多元函數(shù)的極大值.極小值求解步驟.如下: a):根據(jù)實際問題建立函數(shù)關(guān)系.確定其定義域, b):求出駐點, c):結(jié)合實際意義判定最大.最小值. 例題:在平面3x+4y-z=26上求一點.使它與坐標(biāo)原點的距離最短. 解答:a):先建立函數(shù)關(guān)系,確定定義域 求解與原點的距離最短的問題等價于求解與原點距離的平方 最小的問題.但是P點位于所給的平面上,故z=3x+4y-26.把它代入上式便得到我們所需的函數(shù)關(guān)系: ,-∞＜x＜+∞,-∞＜y＜+∞ b):求駐點 解得唯一駐點x=3.y=4.由于點P在所給平面上,故可知 z=-1 c):結(jié)合實際意義判定最大.最小值 由問題的實際意義可知.原點與平面距離的最小值是客觀存在的.且這個最小值就是極小值.而函數(shù) 僅有唯一的駐點.所以.平面上與原點距離最短的點為P. 從上例我們可以看出.上面函數(shù)關(guān)系也可看成是:求三元函數(shù) . 在約束條件 3x+4y-z=26 下的最小值.一個多元函數(shù)在一個或幾個約束條件下的極值稱為條件極值. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

函數(shù)概念的發(fā)展歷程

　　17世紀(jì)，科學(xué)家們致力于運(yùn)動的研究，如計算天體的位置，遠(yuǎn)距離航海中對經(jīng)度和緯度的測量，炮彈的速度對于高度和射程的影響等．諸如此類的問題都需要探究兩個變量之間的關(guān)系，并根據(jù)這種關(guān)系對事物的變化規(guī)律作出判斷，如根據(jù)炮彈的速度推測它能達(dá)到的高度和射程．這正是函數(shù)產(chǎn)生和發(fā)展的背景．

　　“function”一詞最初由德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲(G．W．Leibniz，1646～1716)在1692年使用．在中國，清代數(shù)學(xué)家李善蘭(1811～1882)在1859年和英國傳教士偉烈亞力合譯的《代徽積拾級》中首次將“function”譯做“函數(shù)”．

　　萊布尼茲用“函數(shù)”表示隨曲線的變化而改變的幾何量，如坐標(biāo)、切線等．1718年，他的學(xué)生，瑞士數(shù)學(xué)家約翰·伯努利(J．Bernoulli，1667～1748)強(qiáng)調(diào)函數(shù)要用公式表示．后來，數(shù)學(xué)家認(rèn)為這不是判斷函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)．只要一些變量變化，另一些變量隨之變化就可以了．所以，1755年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(L．Euler，1707～1783)將函數(shù)定義為“如果某些變量，以一種方式依賴于另一些變量，我們將前面的變量稱為后面變量的函數(shù)”．

　　當(dāng)時很多數(shù)學(xué)家對于不用公式表示函數(shù)很不習(xí)慣，甚至抱懷疑態(tài)度．函數(shù)的概念仍然是比較模糊的．

　　隨著對微積分研究的深入，18世紀(jì)末19世紀(jì)初，人們對函數(shù)的認(rèn)識向前推進(jìn)了．德國數(shù)學(xué)家狄利克雷(P．G．L．Dirichlet，1805～1859)在1837年時提出：“如果對于x的每一個值，y總有一個完全確定的值與之對應(yīng)，則y是x的函數(shù)”．這個定義較清楚地說明了函數(shù)的內(nèi)涵．只要有一個法則，使得取值范圍中的每一個值，有一個確定的y和它對應(yīng)就行了，不管這個法則是公式、圖象、表格還是其他形式．19世紀(jì)70年代以后，隨著集合概念的出現(xiàn)，函數(shù)概念又進(jìn)而用更加嚴(yán)謹(jǐn)?shù)募虾蛯?yīng)語言表述，這就是本節(jié)學(xué)習(xí)的函數(shù)概念．

　　綜上所述可知，函數(shù)概念的發(fā)展與生產(chǎn)、生活以及科學(xué)技術(shù)的實際需要緊密相關(guān)，而且隨著研究的深入，函數(shù)概念不斷得到嚴(yán)謹(jǐn)化、精確化的表達(dá)，這與我們學(xué)習(xí)函數(shù)的過程是一樣的．

你能以函數(shù)概念的發(fā)展為背景，談?wù)剰某踔械礁咧袑W(xué)習(xí)函數(shù)概念的體會嗎？

1．探尋科學(xué)家發(fā)現(xiàn)問題的過程，對指導(dǎo)我們的學(xué)習(xí)有什么現(xiàn)實意義？

2．萊布尼茲、狄利克雷等科學(xué)家有哪些品質(zhì)值得我們學(xué)習(xí)？

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設(shè)α∈R，則“a=1”是“f（x）=lg（a+
2
x-1
）為奇函數(shù)”的（　�。�

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“?=π”是“函數(shù)y=sin（2x+?）為奇函數(shù)的”（　　）
A、充分而不必要條件B、必要而不充分條件C、充分必要條件D、既不充分也不必要條件

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設(shè)A＞0，ω＞0，0≤?＜2π，函數(shù)f（x）=Asin（ωx+?），g（x）=Asin（2ωx+?），則函數(shù)f（x）在區(qū)間(
π
3
，
π
2
)內(nèi)為增函數(shù)是函數(shù)g（x）在區(qū)間(
π
6
，
π
4
)內(nèi)為增函數(shù)的（　�。�
A、既不充分也不必要條件
B、充分不必要條件
C、必要不充分條件
D、充分必要條件

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“b≥-1”是“函數(shù)y=x2+bx+1（x∈[1，+∞））為增函數(shù)”的（　�。�
A、充分但不必要條件B、必要但不充分條件C、充要條件D、既不是充分條件也不是必要條件

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