二重積分的概念及性質(zhì) 前面我們已經(jīng)知道了.定積分與曲邊梯形的面積有關(guān).下面我們通過曲頂柱體的體積來引出二重積分的概念.在此我們不作詳述.請大家參考有關(guān)書籍. 二重積分的定義設(shè)z=f上的有界函數(shù): 任意劃分成n個子域(△σk),其面積記作△σk, (2)在每一個子域(△σk)上任取一點.作乘積, (3)把所有這些乘積相加,即作出和數(shù) (4)記子域的最大直徑d.如果不論子域怎樣劃分以及怎樣選取,上述和數(shù)當(dāng)n→+∞且d→0時的極限存在,那末稱此極限為函數(shù)f上的二重積分.記作: 即:= 其中x與y稱為積分變量.函數(shù)f(x,y)稱為被積函數(shù),f(x,y)dσ稱為被積表達式,(σ)稱為積分區(qū)域. 關(guān)于二重積分的問題對于二重積分的定義,我們并沒有f(x,y)≥0的限.容易看出,當(dāng)f(x,y)≥0時,二重積分在幾何上就是以z=f為底且母線平行于z軸的曲頂柱體的體積. 上述就是二重積分的幾何意義. 如果被積函數(shù)f上連續(xù).那末二重積分必定存在. 二重積分的性質(zhì) (1).被積函數(shù)中的常數(shù)因子可以提到二重積分符號外面去. (2).有限個函數(shù)代數(shù)和的二重積分等于各函數(shù)二重積分的代數(shù)和. 分成兩個子域(σ1)與(σ2),即(σ)=(σ1)+(σ2),那末: 上有f,那末: ≤ 上連續(xù),則在(σ)上至少存在一點,使其中σ是區(qū)域(σ)的面積. 二重積分的計算法直角坐標(biāo)系中的計算方法這里我們采取的方法是累次積分法.也就是先把x看成常量.對y進行積分.然后在對x進行積分.或者是先把y看成常量.對x進行積分.然后在對y進行積分.為此我們有積分公式.如下: 或在這里我們可能會有這個問題:累次積分的上下限是怎么確定的呢? 累次積分上下限的確定方法我們先來對區(qū)域作些補充說明:如果經(jīng)過區(qū)域(σ)內(nèi)任意一點作平行于y軸的直線,且此直線交(σ)的邊界不超過兩點.那末稱方向的正規(guī)區(qū)域.如果(σ)即是沿y軸方向也是沿x軸方向的正規(guī)區(qū)域,那末(σ)就稱為正規(guī)區(qū)域.下圖所示的即為正規(guī)區(qū)域: 關(guān)于累次積分上下限的取法如下所述: 為沿y軸方向的正規(guī)區(qū)域.那末二重積分可化為先對y再對x的累次積分.其中對y的積分下限是(σ)的下部邊界曲線所對應(yīng)的函數(shù)y1(x).積分上限是上部邊界曲線所對應(yīng)的函數(shù)y2(x).對x的積分下限與上限分別是(σ)的最左與最右點的橫坐標(biāo)a與b. 為沿x軸方向的正規(guī)區(qū)域,那末二重積分可化為先對x再對y的累次積分.其中對x的積分下限是(σ)的左部邊界曲線所對應(yīng)的函數(shù)x1(y).積分上限是右部邊界曲線所對應(yīng)的函數(shù)x2(y).對y的積分下限與上限分別是(σ)的最低與最高點的橫坐標(biāo)c與d. 為正規(guī)區(qū)域.那末累次積分可以交換積分次序. 既不是沿y軸方向的正規(guī)區(qū)域,也不是沿x軸方向的正規(guī)區(qū)域,那末總可以把它化分成幾塊沿y軸方向的正規(guī)區(qū)域或沿x軸方向的正規(guī)區(qū)域,然后根據(jù)積分的性質(zhì)即可求解積分. 例題:求二重積分.其中(σ)是由所圍成的區(qū)域. 解答:因為是正規(guī)區(qū)域.所以我們可先對y后對x積分.也可先對x后對y積分.這里我們采用前者先對y后對x積分: 極坐標(biāo)系中的計算法如果二重積分的被積函數(shù)和積分區(qū)域(σ)的邊界方程均由極坐標(biāo)的形式給出,那末我們?nèi)绾斡嬎隳?下面我們給出極坐標(biāo)系中二重積分的計算公式. 如果極點O在用不等式表示為R1(θ)≤ρ≤R2(θ),α≤θ≤β,則積分公式如下: 如果極點O在的邊界方程為ρ=R(θ),0≤θ≤2π,則積分公式如下: 如果極點O在(σ)的邊界上,邊界方程為ρ=R(θ),θ1≤θ≤θ2,則積分公式如下: 有了上面這些公式.一些在直角坐標(biāo)系中不易積出而在極坐標(biāo)系中易積出的函數(shù).我們就可以把它轉(zhuǎn)化為在極坐標(biāo)系中的積分即可.反之依然. 注:直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換公式為: 例題:求.其中(σ)是圓環(huán)a2≤x2+y2≤b2 解答:由于積分域由同心圓圍成以及被積函數(shù)的形式.顯然.這個二重積分化為極坐標(biāo)計算比較方便. 把.dσ=ρdρdθ代入.即可轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)系的積分形式.如下: 在對其進行累次積分計算: 三重積分及其計算法二重積分的被積函數(shù)是一個二元函數(shù).它的積分域是-平面區(qū)域.如果考慮三元函數(shù)f上的積分.就可得到三重積分的概念. 三重積分的概念設(shè)函數(shù)u=f在空間有界閉區(qū)域(V)任意劃分成n個子域(△V1),(△V2),(△V3),-,(△Vn),它們的體積分別記作△Vk.在每一個子域上任取一點.并作和數(shù) 如果不論△Vk怎樣劃分.點怎樣選取.當(dāng)n→+∞而且最大的子域直徑δ→0時.這個和數(shù)的極限都存在.那末此極限就稱為函數(shù)在域(V)上的三重積分,記作: 即: 如果f上連續(xù).那末此三重積分一定存在. 對于三重積分沒有直觀的幾何意義.但它卻有著各種不同的物理意義. 直角坐標(biāo)系中三重積分的計算方法這里我們直接給出三重積分的計算公式.具體它是怎樣得來的.請大家參照有關(guān)書籍. 直角坐標(biāo)系中三重積分的計算公式為: 此公式是把一個三重積分轉(zhuǎn)化為一個定積分與一個二重積分的問題.根據(jù)我們前面所學(xué)的結(jié)論即可求出. 例題:求.其中(V)是由平面x=0,y=0,z=0及x+y+z=1所圍成的區(qū)域. 解答:把I化為先對z積分.再對y和x積分的累次積分.那末應(yīng)把(V)投影到xOy平面上,求出投影域(σ),它就是平面x+y+z=1與xOy平面的交線和x軸.y軸所圍成的三角區(qū)域. 我們?yōu)榱舜_定出對z積分限,在,通過此點作一條平行于z的直線,它與(V)上下邊界的交點的豎坐標(biāo):z=0與z=1-x-y.這就是對z積分的下限與上限.于是由積分公式得: 其中(σ)為平面區(qū)域:x≥0.y≥0.x+y≤1.如下圖紅色陰影部分所示: 再把(σ)域上的二重積分化成先對y后對x的累次積分.得: 柱面坐標(biāo)系中三重積分的計算法我們先來學(xué)習(xí)一下空間中的點用極坐標(biāo)的表示方法. 平面上點P可以用極坐標(biāo)來確定,因此空間中的點P可用數(shù)組來表示.顯然.空間的點P與數(shù)組之間的對應(yīng)關(guān)系是一一對應(yīng)關(guān)系,數(shù)組稱為空間點P的柱面坐標(biāo).它與直角坐標(biāo)的關(guān)系為: 構(gòu)成柱面坐標(biāo)系的三族坐標(biāo)面分別為: ρ=常數(shù):以z軸為對稱軸的同軸圓柱面族. θ=常數(shù):通過z軸的半平面族. z =常數(shù):與z軸垂直的平面族. 因此.每三個這樣的坐標(biāo)面確定著空間的唯一的一點.由于利用了圓柱面.所以稱為柱面坐標(biāo). 柱面坐標(biāo)系下三重積分的計算公式為: 此處我們不在舉例. 【查看更多】

題目列表(包括答案和解析)

如何理解對數(shù)的概念及性質(zhì)？

設(shè)G、M分別為不等邊△ABC的重心與外心，A（-1，0）、B（1，0），GM∥AB．
（1）求點C的軌跡方程；
（2）設(shè)點C的軌跡為曲線E，是否存在直線l，使l過點（0.1）并與曲線E交于P、Q兩點，且滿足

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=-2？若存在，求出直線l的方程，若不存在，說明理由．
注：三角形的重心的概念和性質(zhì)如下：設(shè)△ABC的重心，且有

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（本小題考查函數(shù)定義域的概念及綜合知識的應(yīng)用）

函數(shù)的定義域為