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已知數列{a_n}滿足a₁=1，a₂=3，且an+2=(1+2|cos

nπ

2

|)an+|sin

nπ

2

|，n∈N*，
（1）求a_2k-1（k∈N^*）；
（2）數列{y_n}，{b_n}滿足y=a_2n-1，b₁=y₁，且當n≥2時bn

=y

2 n

(

1

y 2 1

+

1

y 2 2

+…+

1

y 2 n-1

)．證明當n≥2時，

bn+1

(n+1)

-

bn

n2

=

1

n2

；
（3）在（2）的條件下，試比較(1+

1

b1

)•(1+

1

b2

)•(1+

1

b3

)+…+(1+

1

bn

)與4的大小關系．

如圖所示的集合體是將高為2，底面半徑為1的直圓柱沿過軸的平面切開后，將其中一半沿切面向右水平平移后得到的．A，A′，B，B′分別為

CD

，

C′D′

，

DE

，

D′E′

的中點，O1，

O

′ 1

，O2，

O

′ 2

分別為CD，C′D′，DE，D′E′的中點．
（1）證明：

O

′ 1

，A′，O2，B四點共面；
（2）設G為A A′中點，延長A′

O

′ 1

到H′，使得

O

′ 1

H′=A′

O

′ 1

．證明：B

O

′ 2

⊥平面H′B′G′．

已知定義在實數集R上的奇函數f（x）有最小正周期2，且當x∈（0，1）時，f(x)=

2x

4x+1

．
（1）證明f（x）在（0，1）上為減函數；
（2）求函數f（x）在[-1，1]上的解析式；
（3）當λ取何值時，方程f（x）=λ在R上有實數解．

已知點B_n（n，y_n），…（n∈N₊）是某直線l上的點，以B_n為圓心作圓．所作的圓與x軸交于A_n和A_n+1兩點，記A_n、A_n+1的橫坐標分別為x_n、x_n+1．其中x₁=a（0＜a≤1）
（1）證明：x_n+2-x_n是常數，并求數列{x_n}的通項公式；
（2）若l的方程為y=

1

4

x+

1

12

，試問在△AnBnAn+1(n∈N+)中是否存在直角三角形，若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．