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(或)的參數(shù)方程為(或)(為參數(shù)). 拋物線 例21. 頂點在原點.焦點是的拋物線方程是( ) (A)x2=8y (B)x2= -8y (C)y2=8x (D)y2= -8x 例22. 拋物線上的一點到焦點的距離為1.則點的縱坐標是( ) (A) (B) (C) (D)0 例23.過點P(0,1)與拋物線y2=x有且只有一個交點的直線有( ) (A)4條 2條 (D)1條 例24. 過拋物線(a>0)的焦點F作一直線交拋物線于P.Q兩點.若線段PF與FQ的長分別為p.q.則等于( ) (A)2a (B) (C) (D) 例25. 若點A的坐標為(3.2).F為拋物線y2=2x的焦點.點P在拋物線上移動.為使|PA|+|PF|取最小值.P點的坐標為( ) (A) (C)(.1) 例26. 動圓M過點F(0.2)且與直線y=-2相切.則圓心M的軌跡方程是 . 例27. 過拋物線y2＝2px的焦點的一條直線和拋物線交于兩點.設(shè)這兩點的縱坐標為y1.y2.則y1y2＝ . 例28. 以拋物線的焦點為圓心.通徑長為半徑的圓的方程是 . 例29. 過點的直線l與拋物線y2=6x有公共點.則直線l的傾斜角的范圍是 . 例30設(shè)是一常數(shù).過點的直線與拋物線交于相異兩點A.B.以線段AB為直經(jīng)作圓H. (Ⅰ)試證:拋物線頂點在圓H的圓周上, (Ⅱ)求圓H的面積最小時直線AB的方程. 軌跡 問題 上一章已經(jīng)復(fù)習過解析幾何的基本問題之一: 如何求曲線方程,它一般分為兩類基本題型:一是已知軌跡類型求其方程.常用待定系數(shù)法.如求直線及圓的方程就是典型例題,二是未知軌跡類型.此時除了用代入法.交軌法.參數(shù)法等求軌跡的方法外.通常設(shè)法利用已知軌跡的定義解題.化歸為求已知軌跡類型的軌跡方程. 因此在求動點軌跡方程的過程中.一是尋找與動點坐標有關(guān)的方程.側(cè)重于數(shù)的運算.一是尋找與動點有關(guān)的幾何條件.側(cè)重于形.重視圖形幾何性質(zhì)的運用. 求軌跡方程的一般步驟:建.設(shè).現(xiàn)(限).代.化. 軌跡方程 例31. 已知兩點M.點P滿足=12.則點P的軌跡方程為( ) 例32.⊙O1與⊙O2的半徑分別為1和2.|O1O2|=4.動圓與⊙O1內(nèi)切而與⊙O2外切.則動圓圓心軌跡是( ) 拋物線 雙曲線的一支 例33. 動點P在拋物線y2=-6x上運動,定點A(0,1),線段PA中點的軌跡方程是( ) (A)(2y+1)2=-12x(B)(2y+1)2=12x (C)(2y-1)2=-12x(D)(2y-1)2=12x 例34. 過點(2.0)與圓相內(nèi)切的圓的圓心的軌跡是( ) 雙曲線 圓 例35. 已知的周長是16..B則動點的軌跡方程是( ) (A)(B) (C) (D) 例36. 橢圓中斜率為的平行弦中點的軌跡方程為 . 例37. 已知動圓P與定圓C: (x+2)+y＝1相外切.又與定直線l:x＝1相切,那么動圓的圓心P的軌跡方程是 . 例38. 在直角坐標系中,,則點的軌跡方程是 . 圓錐曲線綜合問題 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 ⑴直線與圓錐曲線的位置關(guān)系和判定 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系有三種情況:相交.相切.相離. 直線方程是二元一次方程,圓錐曲線方程是二元二次方程,由它們組成的方程組,經(jīng)過消元得到一個一元二次方程,直線和圓錐曲線相交.相切.相離的充分必要條件分別是... ⑵直線與圓錐曲線相交所得的弦長 直線具有斜率,直線與圓錐曲線的兩個交點坐標分別為,則它的弦長 注:實質(zhì)上是由兩點間距離公式推導(dǎo)出來的,只是用了交點坐標設(shè)而不求的技巧而已(因為.運用韋達定理來進行計算. 當直線斜率不存在是,則. 注: 1.圓錐曲線.一要重視定義.這是學好圓錐曲線最重要的思想方法.二要數(shù)形結(jié)合.既熟練掌握方程組理論.又關(guān)注圖形的幾何性質(zhì).以簡化運算. 2.當涉及到弦的中點時.通常有兩種處理方法:一是韋達定理,二是點差法. 3.圓錐曲線中參數(shù)取值范圍問題通常從兩個途徑思考:一是建立函數(shù).用求值域的方法求范圍,二是建立不等式.通過解不等式求范圍. 圓錐曲線綜合問題 例39. AB為過橢圓=1中心的弦.F(c.0)為橢圓的右焦點.則△AFB的面積最大值是( ) (A)b2 (B)ab (C)ac (D)bc 例40. 若直線y＝kx+2與雙曲線的右支交于不同的兩點.則k的取值范圍是( ) , , , , 例41.若雙曲線x2-y2=1右支上一點P(a, b)到直線y=x的距離為.則a+b的值是( ). 或 (D)2或-2 圓錐曲線綜合問題 例42.拋物線y=x2上的點到直線2x- y =4的距離最近的點的坐標是( ) ) () 例43. 拋物線y2=4x截直線所得弦長為3.則k的值是( ) (A)2 4 (D)-4 例44. 把曲線按向量平移后得曲線.曲線有一條準線方程為.則的值為( ) 例45.如果直線與雙曲線沒有交點.則的取值范圍是 . 例46. 已知拋物線上兩點關(guān)于直線對稱.且.那么m的值為 . 例47. 以雙曲線-y2=1左焦點F.左準線l為相應(yīng)焦點.準線的橢圓截直線y=kx+3所得弦恰被x軸平分.則k的取值范圍是 . 例48. 雙曲線3x2-y2=1上是否存在關(guān)于直線y=2x對稱的兩點A.B?若存在.試求出A.B兩點的坐標,若不存在.說明理由. 數(shù)學基礎(chǔ)知識與典型例題答案 例1. D 例2. B 例3. C 先考慮M+m=2a.然后用驗證法. 例4. B提示:e=,P點到左準線的距離為2.5.它到左焦點的距離是2. 2a=10, P點到右焦點的距離是8.∴P點到右焦點的距離與到左焦點的距離之比是4 : 1; 例5. B∵.∴. 例6. C提示:橢圓3x2+4y2=48中.a=4, c=2, e=, 設(shè)橢圓上的P點到右準線的距離為d.則=, ∴|AP|+2|PF|=|AP|+d, ∴當AP平行于x軸且P點在A點與右準線之間時.|AP|+d為一直線段.距離最小.此時P點縱坐標等于.∴P點坐標是(2, ) 例7. (3,4) 或(-3, 4) 例8. (1)或; (2) ; (3)或; (4) 或. 例9. ≤ 例10. 解:設(shè)橢圓方程為+=1,(a>b>0) ⑴PQ⊥x軸時.F(-c,0).|FP|=.又|FQ|=|FP|且OP⊥OQ.∴|OF|=|FP|,即c=∴ac=a2-c2,∴e2+e-1=0,∴e=與題設(shè)e=不符,所以PQ不垂直x軸. ⑵PQ∶y=k(x+c),P(x1,y1),Q(x2,y2),∵e=,∴a2=c2,b2=c2, 所以橢圓方程可化為:3x2+12y2-4c2=0,將PQ方程代入. 得(3+12k2)x2+24k2cx+12k2c2-4c2=0,∴x1+x2=,x1x2= 由|PQ|=得·=① ∵OP⊥OQ,∴·= -1即x1x2+y1y2=0,∴(1+k2)x1x2+k2c(x1+x2)+c2k2=0② 把.代入.解②得k2=.把代入①解得c2=3 ∴a2=4,b2=1.則所求橢圓方程為+y2=1. 例11. B 例12. C 例13. D 例14. C 例15. C 例16. A假設(shè),由雙曲線定義且, 解得而由勾股定理得 [點評]考查雙曲線定義和方程思想. 例17. 例18. 例19.⑴設(shè)雙曲線方程為,∴ ∴ , ∴ 雙曲線方程為;⑵設(shè)雙曲線方程為∴ ,解之得k=4,∴ 雙曲線方程為 評注:與雙曲線共漸近線的雙曲線方程為.當λ>0時.焦點在x軸上,當λ<0時.焦點在y軸上.與雙曲線共焦點的雙曲線為(a2+k>0.b2-k>0).比較上述兩種解法可知.引入適當?shù)膮?shù)可以提高解題質(zhì)量.特別是充分利用含參數(shù)方程的幾何意義.可以更準確地理解解析幾何的基本思想. 例20. 解題思路分析: 法一:顯然AB斜率存在設(shè)AB:y-2=k(x-1) 由得:(2-k2)x2-2k(2-k)x-k2+4k-6=0 當△>0時.設(shè)A(x1,y1).B(x2,y2) 則∴ k=1.滿足△>0∴ 直線AB:y=x+1 法二:設(shè)A(x1,y1).B(x2,y2)則兩式相減得:(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2) ∵ x1≠x2∴ ∴ ∴ AB:y=x+1代入得:△>0 評注:法一為韋達定理法.法二稱為點差法.當涉及到弦的中點時.常用這兩種途徑處理.在利用點差法時.必須檢驗條件△>0是否成立. (2)此類探索性命題通�？隙M足條件的結(jié)論存在.然后求出該結(jié)論.并檢驗是否滿足所有條件.本題應(yīng)著重分析圓的幾何性質(zhì).以定圓心和定半徑這兩定為中心 設(shè)A.B.C.D共圓于⊙OM.因AB為弦.故M在AB垂直平分線即CD上,又CD為弦.故圓心M為CD中點.因此只需證CD中點M滿足|MA|=|MB|=|MC|=|MD| 由得:A又CD方程:y=-x+3 由得:x2+6x-11=0設(shè)C(x3,y3).D(x4,y4).CD中點M(x0,y0) 則∴ M ∴ |MC|=|MD|=|CD|=又|MA|=|MB|=∴ |MA|=|MB|=|MC|=|MD| ∴ A.B.C.D在以CD中點.M為圓心.為半徑的圓上 評注:充分分析平面圖形的幾何性質(zhì)可以使解題思路更清晰.在復(fù)習中必須引起足夠重視. 例21. B() 例22. B 例23. B(過P可作拋物線的切線兩條.還有一條與x軸平行的直線也滿足要求.) 例24. C作為選擇題可采用特殊值法,取過焦點.且垂直于對稱軸的直線與拋物線相交所形成線段分別為p,q. 則p=q=|FK|, 例25. 解析:運用拋物線的準線性質(zhì).答案:B 例26. x2=8y 例27. -p2 例28. 例29. 例30. 解:由題意.直線AB不能是水平線. 故可設(shè)直線方程為:. 又設(shè).則其坐標滿足消去x得 由此得∴ 因此,即. 故O必在圓H的圓周上. 又由題意圓心H()是AB的中點. 故由前已證 OH應(yīng)是圓H的半徑. 且.從而當k=0時.圓H的半徑最小.亦使圓H的面積最小.此時.直線AB的方程為:x=2p. 注:1.解決直線和圓錐曲線的位置關(guān)系問題.一般方法是聯(lián)立方程組.消元得一元二次方程.必須討論二次項系數(shù)和判別式△.利用韋達定理尋找兩根之和與兩根之積之間的關(guān)系．求解有時借助圖形的幾何性質(zhì)更為簡潔．此題設(shè)直線方程為x=ky+2p,因為直線過x軸上是點Q.通常可以這樣設(shè).可避免對直線的斜率是否存在討論．2．凡涉及弦的中點及中點弦問題.利用平方差法,涉及垂直關(guān)系往往也是利用韋達定理.設(shè)而不求簡化運算．3．在引入點參數(shù)(本題中以AB弦的兩個端點的坐標作為主參數(shù))時.應(yīng)盡量減少參數(shù)的個數(shù).以便減少運算量．由OA⊥OB得x1x2+y1y2=O這個關(guān)系對于解決此類問題十分有用．4．列出目標函數(shù).|OH|=P.運用函數(shù)思想解決解析幾何中的最值問題是解決此類問題的基本思路.也可利用基本不等式a2+b2≥2ab當且僅當a=b時“= 成立求解． 例31. B 例32. D 例33. C 例34. A例35. B 例36. 9x+16y=0 (橢圓內(nèi)部分 例37. y2＝-8x 例38. 例39. 解析:∵S△AFB=2S△AOF.∴當點A位于短軸頂點處面積最大.答案:D 例40. D41. B 42. B 數(shù)形結(jié)合估算出D 例43. D 例40. C∵由已知得曲線的準線為,∴焦點在軸上且,, ∴,∴ 例45.k< 例46. 例47. (0.) 例48. 解:設(shè)AB:y=-x+m,代入雙曲線方程得11x2+4mx-4(m2+1)=0, 這里△=(4m)2-4×11［-4(m2+1)］=16(2m2+11)＞0恒成立. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點為M(x0,y0),則x1+x2=-.∴x0=-,y0=-x0+m=, 若A.B關(guān)于直線y=2x對稱.則M必在直線y=2x上. ∴=-得m=1.由雙曲線的對稱性知.直線y=-x與雙曲線的交點的A.B必關(guān)于直線y=2x對稱. ∴存在A.B且求得A(.-).B(-.) 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

（三選一，考生注意：請在下列三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評分）
（1）（坐標系與參數(shù)方程選做題）在直角坐標系中圓C的參數(shù)方程為
x=1+2cosθ
y=
3
+2sinθ
（θ為參數(shù)），則圓C的普通方程為
(x-1)2+(y-
3
)2=4
(x-1)2+(y-
3
)2=4
．
（2）（不等式選講選做題）設(shè)函數(shù)f（x）=|2x+1|-|x-4|，則不等式f（x）＞2的解集為
{x|x＜-7或x＞
5
3
}
{x|x＜-7或x＞
5
3
}
．
（3）（幾何證明選講選做題） 如圖所示，等腰三角形ABC的底邊AC長為6，其外接圓的半徑長為5，則三角形ABC的面積是
3
3
．

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精英家教網(wǎng)選做題本題包括A，B，C，D四小題，請選定其中 兩題 作答，每小題10分，共計20分，
解答時應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
A選修4-1：幾何證明選講
自圓O外一點P引圓的一條切線PA，切點為A，M為PA的中點，過點M引圓O的割線交該圓于B、C兩點，且∠BMP=100°，∠BPC=40°，求∠MPB的大�。�
B選修4-2：矩陣與變換
已知二階矩陣A=
ab
cd
，矩陣A屬于特征值λ1=-1的一個特征向量為α1=
1
-1
，屬于特征值λ2=4的一個特征向量為α2=
3
2
．求矩陣A．
C選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
在平面直角坐標系xOy中，已知曲線C的參數(shù)方程為
x=2cosα
y=sinα
(α為參數(shù))．以直角坐標系原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρcos(θ-
π
4
)=2
2
．點
P為曲線C上的動點，求點P到直線l距離的最大值．
D選修4-5：不等式選講
若正數(shù)a，b，c滿足a+b+c=1，求
1
3a+2
+
1
3b+2
+
1
3c+2
的最小值．

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（選做題）在A，B，C，D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計20分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，⊙O的半徑OB垂直于直徑AC，M為AO上一點，BM的延長線交⊙O于N，過
N點的切線交CA的延長線于P．
（1）求證：PM2=PA•PC；
（2）若⊙O的半徑為2
3
，OA=
3
OM，求MN的長．
B．選修4-2：矩陣與變換
曲線x2+4xy+2y2=1在二階矩陣M=
.
1a
b1
.
的作用下變換為曲線x2-2y2=1，求實數(shù)a，b的值；
C．選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
在極坐標系中，圓C的極坐標方程為ρ=
2
cos(θ+
π
4
)，以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，直線l的參數(shù)方程為
x=1+
4
5
t 
y=-1-
3
5
t 
（t為參數(shù)），求直線l被圓C所截得的弦長．
D．選修4-5：不等式選講
設(shè)a，b，c均為正實數(shù)．
（1）若a+b+c=1，求a2+b2+c2的最小值；
（2）求證：
1
2a
+
1
2b
+
1
2c
≥
1
b+c
+
1
c+a
+
1
a+b
．

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（2012•徐州模擬）本題包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩題，并在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，
若多做，則按作答的前兩題評分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，半徑分別為R，r（R＞r＞0）的兩圓⊙O，⊙O1內(nèi)切于點T，P是外圓⊙O上任意一點，連PT交⊙O1于點M，PN與內(nèi)圓⊙O1相切，切點為N．求證：PN：PM為定值．
B．選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣M=
21
34

（1）求矩陣M的逆矩陣；
（2）求矩陣M的特征值及特征向量；
C．選修4-2：矩陣與變換
在平面直角坐標系x0y中，求圓C的參數(shù)方程為
x=-1+rcosθ
y=rsinθ
(θ為參數(shù)r＞0），以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρcos(θ+
π
4
)=2
2
．若直線l與圓C相切，求r的值．
D．選修4-5：不等式選講
已知實數(shù)a，b，c滿足a＞b＞c，且a+b+c=1，a2+b2+c2=1，求證：1＜a+b＜
4
3
．

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（選做題）在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計20分．請在答卷紙指定區(qū)域內(nèi)作答．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
（B）（選修4-2：矩陣與變換）
二階矩陣M有特征值λ=8，其對應(yīng)的一個特征向量e=
1
1
，并且矩陣M對應(yīng)的變換將點（-1，2）變換成點（-2，4），求矩陣M2．
（C）（選修4-4：坐標系與參數(shù)方程）
已知極坐標系的極點在直角坐標系的原點，極軸與x軸的正半軸重合，曲線C的極坐標方程為ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3，直線l的參數(shù)方程為
x=-
3
t
y=1+t
（t為參數(shù)，t∈R）．試在曲線C上一點M，使它到直線l的距離最大．

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