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例1.如圖.設(shè)拋物線方程為x2=2py(p＞0),M為直線y=-2p上任意一點(diǎn).過M引拋物線的切線.切點(diǎn)分別為A.B. (Ⅰ)求證:A.M.B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列, (Ⅱ)已知當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(2.-2p)時(shí)..求此時(shí)拋物線的方程, (Ⅲ)是否存在點(diǎn)M.使得點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)D在拋物線上.其中.點(diǎn)C滿足(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).若存在.求出所有適合題意的點(diǎn)M的坐標(biāo),若不存在.請(qǐng)說明理由. (Ⅰ)證明:由題意設(shè) 由得.則所以因此直線MA的方程為直線MB的方程為所以 ① ② 由①.②得因此 .即所以A.M.B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列. 知.當(dāng)x0=2時(shí). 將其代入①.②并整理得: 所以 x1.x2是方程的兩根. 因此又所以由弦長(zhǎng)公式得又. 所以p=1或p=2. 因此所求拋物線方程為或 (Ⅲ)解:設(shè)D(x3,y3).由題意得C(x1+ x2, y1+ y2), 則CD的中點(diǎn)坐標(biāo)為設(shè)直線AB的方程為由點(diǎn)Q在直線AB上.并注意到點(diǎn)也在直線AB上. 代入得若D(x3,y3)在拋物線上.則因此 x3=0或x3=2x0. 即D(0.0)或 (1)當(dāng)x0=0時(shí).則.此時(shí).點(diǎn)M(0,-2p)適合題意. (2)當(dāng).對(duì)于D(0.0).此時(shí) 又AB⊥CD. 所以即矛盾. 對(duì)于因?yàn)榇藭r(shí)直線CD平行于y軸. 又所以直線AB與直線CD不垂直.與題設(shè)矛盾. 所以時(shí).不存在符合題意的M點(diǎn). 綜上所述.僅存在一點(diǎn)M(0.-2p)適合題意. 例2設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn).是它的兩個(gè)頂點(diǎn).直線與AB相交于點(diǎn)D.與橢圓相交于E.F兩點(diǎn)． (Ⅰ)若.求的值, (Ⅱ)求四邊形面積的最大值． (Ⅰ)解:依題設(shè)得橢圓的方程為. 直線的方程分別為.．如圖.設(shè).其中. 且滿足方程. 故．① 由知.得, 由在上知.得．所以. 化簡(jiǎn)得. 解得或． (Ⅱ)解法一:根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式和①式知.點(diǎn)到的距離分別為. ．又.所以四邊形的面積為 . 當(dāng).即當(dāng)時(shí).上式取等號(hào)．所以的最大值為．解法二:由題設(shè)..．設(shè)..由①得.. 故四邊形的面積為 . 當(dāng)時(shí).上式取等號(hào)．所以的最大值為．例3.已知x.y滿足約束條件 x≥1. x-3y≤-4. 3x+5y≤30. 求目標(biāo)函數(shù)z=2x-y的最大值和最小值. 解:根據(jù)x.y滿足的約束條件作出可行域.即如圖所示的陰影部分. 作直線:2x-y=0.再作一組平行于的直線:2x-y=t.t∈R. 可知.當(dāng)在的右下方時(shí).直線上的點(diǎn)(x.y)滿足2x-y＞0.即t＞0.而且直線往右平移時(shí).t隨之增大.當(dāng)直線平移至的位置時(shí).直線經(jīng)過可行域上的點(diǎn)B.此時(shí)所對(duì)應(yīng)的t最大,當(dāng)在的左上方時(shí).直線上的點(diǎn)(x.y)滿足2x-y＜0.即t＜0.而且直線往左平移時(shí).t隨之減小.當(dāng)直線平移至的位置時(shí).直線經(jīng)過可行域上的點(diǎn)C.此時(shí)所對(duì)應(yīng)的t最小. x-3y+4=0. 由解得點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5.3), 3x+5y-30=0. x=1. 由解得點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1.). 3x+5y-30=0. 所以.=2×5-3=7,=2×1-=. 例4.已知曲線所圍成的封閉圖形的面積為.曲線的內(nèi)切圓半徑為．記為以曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的橢圓． (Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程, (Ⅱ)設(shè)是過橢圓中心的任意弦.是線段的垂直平分線．是上異于橢圓中心的點(diǎn)． (1)若(為坐標(biāo)原點(diǎn)).當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí).求點(diǎn)的軌跡方程, (2)若是與橢圓的交點(diǎn).求的面積的最小值．解:(Ⅰ)由題意得又. 解得.．因此所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．假設(shè)所在的直線斜率存在且不為零.設(shè)所在直線方程為. ．解方程組得.. 所以．設(shè).由題意知. 所以.即. 因?yàn)槭堑拇怪逼椒志€. 所以直線的方程為. 即. 因此. 又. 所以. 故．又當(dāng)或不存在時(shí).上式仍然成立．綜上所述.的軌跡方程為． (2)當(dāng)存在且時(shí).由(1)得.. 由解得.. 所以..．解法一:由于 . 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.即時(shí)等號(hào)成立.此時(shí)面積的最小值是．當(dāng).．當(dāng)不存在時(shí).．綜上所述.的面積的最小值為．解法二:因?yàn)? 又.. 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.即時(shí)等號(hào)成立. 此時(shí)面積的最小值是．當(dāng).．當(dāng)不存在時(shí).．綜上所述.的面積的最小值為．例5如圖.在以點(diǎn)O為圓心.|AB|=4為直徑的半圓ADB中.OD⊥AB.P是半圓弧上一點(diǎn).∠POB=30°.曲線C是滿足||MA|-|MB||為定值的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡.且曲線C過點(diǎn)P. (Ⅰ)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系.求曲線C的方程, (Ⅱ)設(shè)過點(diǎn)D的直線l與曲線C相交于不同的兩點(diǎn)E.F. 若△OEF的面積不小于2.求直線l斜率的取值范圍. 解:本小題主要考查直線.圓和雙曲線等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí).考查軌跡方程的求法.不等式的解法以及綜合解題能力. (Ⅰ)解法1:以O(shè)為原點(diǎn).AB.OD所在直線分別為x軸.y軸.建立平面直角坐標(biāo)系.則A.B(2.0).D(0,2).P().依題意得 ||MA|-|MB||=|PA|-|PB|＝＜ |AB|＝4. ∴曲線C是以原點(diǎn)為中心.A.B為焦點(diǎn)的雙曲線. 設(shè)實(shí)半軸長(zhǎng)為a.虛半軸長(zhǎng)為b.半焦距為c. 則c＝2.2a＝2.∴a2=2,b2=c2-a2=2. ∴曲線C的方程為. 解法2:同解法1建立平面直角坐標(biāo)系.則依題意可得 ||MA|-|MB||=|PA|-|PB|＜|AB|＝4. ∴曲線C是以原點(diǎn)為中心.A.B為焦點(diǎn)的雙曲線. 設(shè)雙曲線的方程為＞0.b＞0). 則由解得a2=b2=2, ∴曲線C的方程為 (Ⅱ)解法1:依題意.可設(shè)直線l的方程為y＝kx+2.代入雙曲線C的方程并整理得(1-k2)x2-4kx-6=0. ① ∵直線l與雙曲線C相交于不同的兩點(diǎn)E.F. ∴ ∴k∈(-,-1)∪∪(1.). ② 設(shè)E(x1.y1).F(x2, y2).則由①式得x1+x2=,于是 |EF|＝＝而原點(diǎn)O到直線l的距離d＝. ∴S△DEF= 若△OEF面積不小于2,即S△OEF.則有 ③ 綜合②.③知.直線l的斜率的取值范圍為[-.-1]∪ ∪(1, ). 解法2:依題意.可設(shè)直線l的方程為y＝kx+2.代入雙曲線C的方程并整理. 得(1-k2)x2-4kx-6=0. ① ∵直線l與雙曲線C相交于不同的兩點(diǎn)E.F. ∴ . ∴k∈(-.-1)∪∪(1.). ② 設(shè)E(x1,y1),F(x2,y2),則由①式得 |x1-x2|= ③ 當(dāng)E.F在同一支上時(shí). S△OEF＝當(dāng)E.F在不同支上時(shí). S△ODE= 綜上得S△OEF＝于是由|OD|＝2及③式.得S△OEF= 若△OEF面積不小于2 ④ 綜合②.④知.直線l的斜率的取值范圍為[-.-1]∪∪(1.). 例7. 已知⊙M:軸上的動(dòng)點(diǎn).QA.QB分別切⊙M于A.B兩點(diǎn).(1)如果.求直線MQ的方程, (2)求動(dòng)弦AB的中點(diǎn)P的軌跡方程. 解:(1)由.可得由射影定理.得在Rt△MOQ中. . 故. 所以直線AB方程是 (2)連接MB.MQ.設(shè)由點(diǎn)M.P.Q在一直線上.得由射影定理得即把消去a. 并注意到.可得說明:適時(shí)應(yīng)用平面幾何知識(shí).這是快速解答本題的要害所在. 例8.已知橢圓.能否在此橢圓位于y軸左側(cè)的部分上找到一點(diǎn)M.使它到左準(zhǔn)線的距離為它到兩焦點(diǎn)F1.F2距離的等比中項(xiàng).若能找到.求出該點(diǎn)的坐標(biāo).若不能找到.請(qǐng)說明理由. 解:假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn).設(shè)M(x1.y1)a2=4.b2=3.∴a=2..c=1.∴. .點(diǎn)M到橢圓左準(zhǔn)線的距離 .∴.∴.∴或.這與x1∈[-2.0)相矛盾.∴滿足條件的點(diǎn)M不存在. 例9.已知橢圓中心在原點(diǎn).焦點(diǎn)在軸上.焦距為4.離心率為. (Ⅰ)求橢圓方程, (Ⅱ)設(shè)橢圓在y軸正半軸上的焦點(diǎn)為M.又點(diǎn)A和點(diǎn)B在橢圓上.且M分有向線段所成的比為2.求線段AB所在直線的方程. 解:(Ⅰ)設(shè)橢圓方程為由2c=4得c=2 又故a=3. ∴所求的橢圓方程為 (Ⅱ)若k 不存在.則.若k 存在.則設(shè)直線AB的方程為:y=kx+2 又設(shè)A 由得 ① ② ∵點(diǎn)M坐標(biāo)為M(0.2) ∴ 由∴ ∴代入①.②得- ③ ④ 由③.④ 得 ∴ ∴線段AB所在直線的方程為:. 說明:有向線段所成的比.線段的定比分點(diǎn)等概念.本身就是解析幾何研究的一類重要問題.向量概念的引入.使這類問題的解決顯得簡(jiǎn)潔而流暢.求解這類問題可以用定比分點(diǎn)公式.也可以直接用有向線段的比解題. 另外.向量的長(zhǎng)度.點(diǎn)的平移等與解析幾何都有著千絲萬縷的聯(lián)系.向量與解析幾何的結(jié)合.為解決這些問題開辟了新的解題途徑. 例12.已知雙曲線的離心率.過的直線到原點(diǎn)的距離是 (1)求雙曲線的方程, (2)已知直線交雙曲線于不同的點(diǎn)C.D且C.D都在以B為圓心的圓上.求k的值. 解:∵(1)原點(diǎn)到直線AB:的距離. 故所求雙曲線方程為 (2)把中消去y.整理得 . 設(shè)的中點(diǎn)是.則即故所求k=±. 說明:為了求出的值, 需要通過消元, 想法設(shè)法建構(gòu)的方程. 例15.已知橢圓的長(zhǎng).短軸端點(diǎn)分別為A.B.從此橢圓上一點(diǎn)M向x軸作垂線.恰好通過橢圓的左焦點(diǎn).向量與是共線向量. (1)求橢圓的離心率e, (2)設(shè)Q是橢圓上任意一點(diǎn). .分別是左.右焦點(diǎn).求∠ 的取值范圍, 解:(1)∵.∴. ∵是共線向量.∴.∴b=c,故. (2)設(shè) 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí).cosθ=0.∴θ. 說明:由于共線向量與解析幾何中平行線.三點(diǎn)共線等具有異曲同工的作用.因此.解析幾何中與平行線.三點(diǎn)共線等相關(guān)的問題均可在向量共線的新情景下設(shè)計(jì)問題.求解此類問題的關(guān)鍵是:正確理解向量共線與解析幾何中平行.三點(diǎn)共線等的關(guān)系.把有關(guān)向量的問題轉(zhuǎn)化為解析幾何問題. 例16.一條斜率為1的直線與離心率為的橢圓C:()交于P.Q.兩點(diǎn).直線與Y軸交于點(diǎn)R.且..求直線和橢圓C的方程. 解: 橢圓離心率為.. 所以橢圓方程為.設(shè)方程為:. 由消去得 --(1) --(2) 所以而所以所以--(3)又.. 從而--得--(5) 由解得. 適合. 所以所求直線方程為:或,橢圓C的方程為說明:向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示.構(gòu)建起向量與解析幾何的密切關(guān)系.使向量與解析幾何融為一體.求此類問題的關(guān)鍵是:利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示.溝通向量與解析幾何的聯(lián)系.體現(xiàn)了向量的工具性. 【查看更多】

題目列表(包括答案和解析)

2006山東高考，1定義集合A⊙B＝{z|z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}，設(shè)集合A＝{0，1}，B＝{2，3}，則集合A⊙B的所有元素之和為

[　　]

A．

B．

C．

D．

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4、例1．指出下列命題的構(gòu)成形式及構(gòu)成它的簡(jiǎn)單命題，并判斷復(fù)合命題的真假：
（1）菱形對(duì)角線相互垂直平分．
（2）“2≤3”

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例1．在△ABC內(nèi)，求一點(diǎn)P，使

AP2