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21．已知函數(shù)f(x)＝ax--2lnx.f(1)＝0. (1)若函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù).求a的取值范圍, (2)若函數(shù)f(x)的圖象在x＝1處的切線的斜率為0.且an+1＝f′()-n2+1.已知a1＝4.求證:an≥2n+2. 解:(1)因為f(1)＝a-b＝0.所以a＝b. 所以f(x)＝ax--2lnx. 所以f′(x)＝a+-. 要使函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù). 則在內(nèi)f′(x)恒大于等于0或恒小于等于0. 當a＝0時.則f′(x)＝-＜0在內(nèi)恒成立,適合題意． 當a＞0時.要使f′(x)＝a(-)2+a-≥0恒成立.則a-≥0.解得a≥1, 當a＜0時.由f′(x)＝a+-＜0恒成立.適合題意． 所以a的取值范圍為． (2)根據(jù)題意得:f′(1)＝0.即a+a-2＝0.得a＝1. 所以f′(x)＝(-1)2. 于是an+1＝f′()-n2+1＝(an-n)2-n2+1 ＝a-2nan+1. 用數(shù)學(xué)歸納法證明如下: 當n＝1時.a1＝4＝2×1+2. 當n＝2時.a2＝9＞2×2+2, 假設(shè)當n＝k(k≥2且k∈N*)時.不等式ak＞2k+2成立.即ak-2k＞2成立. 則當n＝k+1時.ak+1＝ak(ak-2k)+1＞(2k+2)×2+1＝4k+5＞2(k+1)+2. 所以當n＝k+1.不等式也成立. 綜上得對所有n∈N*時.都有an≥2n+2. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

已知函數(shù)f(x)＝ax－－2lnx(a≥0)

(1)當a＝1時，判斷函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)是否存在極值？若存在，求出極值，若不存在，說明理由

(2)若函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍

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已知函數(shù)f(x)＝ax－－2lnx(a≥0)

(1)當a＝1時，判斷函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)是否存在極值？若存在，求出極值，若不存在，說明理由

(2)若函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍

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已知函數(shù)f(x)＝ax－－2lnx(a≥0)，若函數(shù)在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．

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已知函數(shù)f(x)＝ax－－2lnx．(a∈R)

(1)若a＝2，求曲線f(x)在點(1，f(1))處的切線方程；

(2)若a＞0且函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；

(3)若函數(shù)y＝f(x)在x∈(0，3)存在極值，求實數(shù)a的取值范圍．

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已知函數(shù)f(x)＝x2＋(ae－4)x＋2lnx，g(x)＝ax(2－lnx)(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，常數(shù)a≠0)．

(1)若對任意x＞0，g(x)≤1恒成立，求正實數(shù)a的取值范圍；

(2)在(1)的條件下，當a取最大值時，試討論函數(shù)f(x)在區(qū)間[，e]上的單調(diào)性；

(3)求證：對任意的n∈N*，不等式ln＜n3－n2＋n成立．

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