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9．求證:a3+b3+c3≥(a2+b2+c2)(a+b+c)． 證明:∵a2+b2≥2ab.∴(a2+b2)(a+b)≥2ab(a+b). ∴a3+b3+a2b+ab2≥2a2b+2ab2. ∴a3+b3≥a2b+ab2. 同理:b3+c3≥b2c+bc2.a3+c3≥a2c+ac2. 將三式相加得: 2(a3+b3+c3)≥a2b+ab2+b2c+bc2+a2c+ac2. ∴3(a3+b3+c3)≥(a3+a2b+a2c)+(b3+b2a+b2c)+(c3+c2a+c2b)＝(a+b+c)(a2+b2+c2). ∴a3+b3+c3≥(a2+b2+c2)(a+b+c)． 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

（I）設(shè)a＞0，b＞0求證：a3+b3≥a2b+ab2
（II）設(shè)a＞0，b＞0，c＞0，且a，b，c不且相等，求證：lg
a+b
2
+lg
b+c
2
+lg
c+a
2
＞lga+lgb+lgc．

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（1）設(shè)a，b，c均為正實數(shù)，且a≠b≠c，求證：a3+b3＞a2b+ab2
（2）求證：
3
+2
2
＜2+
7
．

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精英家教網(wǎng)本題包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答．若多做，則按作答的前兩題評分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A：AB是圓O的直徑，D為圓O上一點，過D作圓O的切線交AB延長線于點C，若DA=DC，求證：AB=2BC．
B：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A（0，0），B（-2，0），C（-2，1）．設(shè)k為非零實數(shù)，矩陣M=
k0
01
，N=
01
10
，點A、B、C在矩陣MN對應(yīng)的變換下得到點分別為A1、B1、C1，△A1B1C1的面積是△ABC面積的2倍，求k的值．
C：在極坐標(biāo)系中，已知圓ρ=2cosθ與直線3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求實數(shù)a的值．
D：設(shè)a、b是非負(fù)實數(shù)，求證：a3+b3≥
ab
(a2+b2)．

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（1）若a＞b＞c，求證：
a-c
a-b
＞
a-b
a-c
．
（2）設(shè)a、b是正實數(shù)，求證：a3+b3≥a2b+ab2．

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（2011•南京模擬）A．選修4-1幾何證明選講
如圖，△ABC的外接圓的切線AE與BC的延長線相交于點E，∠BAC的平分線與BC交于點D．
求證：ED2=EB•EC．
B．矩陣與變換
已知矩陣A=
2-1
-43
，
4-1
-31
，求滿足AX=B的二階矩陣X．
C．選修4-4 參數(shù)方程與極坐標(biāo)
若兩條曲線的極坐標(biāo)方程分別為ρ=1與ρ=2cos（θ+
π
3
），它們相交于A，B兩點，求線段AB的長．
D．選修4-5 不等式證明選講設(shè)a，b，c為正實數(shù)，求證：a3+b3+c3+
1
abc
≥2
3
．

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