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例1 由歐拉定理證明:正多面體只有正四面體.正六面體.正八面體.正十二面體.正二十面體這五種 證明:設(shè)正多面體的每個(gè)面的邊數(shù)為.每個(gè)頂點(diǎn)連有條棱. 令這個(gè)多面體的面數(shù)為.每個(gè)面有條邊.故共有條邊.由于每條邊都是兩個(gè)面的公共邊.故多面體棱數(shù) (1) 令這個(gè)多面體有個(gè)頂點(diǎn).每一個(gè)頂點(diǎn)處有條棱.故共有條棱由于每條棱有兩個(gè)頂點(diǎn).故多面體棱數(shù) (2) 由得:.代入歐拉公式:． ∴ (3). ∵又..但.不能同時(shí)大于. (若..則有.即這是不可能的) ∴.中至少有一個(gè)等于．令.則. ∴.∴.∴． 同樣若可得． 例2．歐拉定理在研究化學(xué)分子結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用: 1996年諾貝爾化學(xué)獎(jiǎng)授予對(duì)發(fā)現(xiàn)有重大貢獻(xiàn)的三位科學(xué)家是由60個(gè)原子構(gòu)成的分子.它是形如足球的多面體這個(gè)多面體有60個(gè)頂點(diǎn).以每一個(gè)頂點(diǎn)為一端點(diǎn)都有三條棱.面的形狀只有五邊形和六邊形.計(jì)算分子中五邊形和六邊形的數(shù)目 解:設(shè)分子中有五邊形個(gè).六邊形個(gè) 分子這個(gè)多面體的頂點(diǎn)數(shù).面數(shù).棱數(shù).由歐拉定理得: (1). 另一方面棱數(shù)可由多邊形的邊數(shù)和來(lái)表示.得 得:. ∴分子中五邊形有12個(gè).六邊形有20個(gè) 例3．一個(gè)正多面體各個(gè)面的內(nèi)角和為.求它的面數(shù).頂點(diǎn)數(shù)和棱數(shù) 解:由題意設(shè)每一個(gè)面的邊數(shù)為,則. ∴. ∵.∴, 將其代入歐拉公式,得,設(shè)過(guò)每一個(gè)頂點(diǎn)的棱數(shù)為, 則.得,即(1), ∵.∴,又. ∴的可能取值為.,, 當(dāng)或時(shí)(1)中無(wú)整數(shù)解, 當(dāng),由(1)得, ∴, ∴. 綜上可知:... 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

（本小題滿分16分）

（1）用二項(xiàng)式定理證明： 能被25整除

（2）（且

 

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（本小題滿分16分）

（1）用二項(xiàng)式定理證明： 能被25整除；

（2）（且 ）.

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（本小題滿分16分）

（1）用二項(xiàng)式定理證明： 能被25整除；

（2）（且 ）.

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一個(gè)簡(jiǎn)單多面體的棱數(shù)能是7嗎？試用歐拉定理進(jìn)行分析．

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一個(gè)簡(jiǎn)單多面體的棱數(shù)能是7嗎？試用歐拉定理進(jìn)行分析．

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