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4．菱形的運用例4 1. 一個菱形的兩條對角線的長的比是2 : 3 ,面積是12 cm2 , 則它的兩條對角線的長分別為 . . 【查看更多】

(本小題滿分12分)
小題1: (1)觀察發(fā)現(xiàn)
如(a)圖，若點A，B在直線

同側(cè)，在直線

上找一點P，使AP+BP的值最�。�
做法如下：作點B關(guān)于直線

的對稱點

，連接

，與直線

的交點就是所求的點P
再如(b)圖，在等邊三角形ABC中，AB=2，點E是AB的中點，AD是高，在AD上找一點P，使BP+PE的值最�。�
做法如下：作點B關(guān)于AD的對稱點，恰好與點C重合，連接CE交AD于一點，則這點就是所求的點P，故BP+PE的最小值為． (2分)

小題2:(2)實踐運用
如圖，菱形ABCD的兩條對角線分別長6和8，點P是對角線AC上的一個動點，點M、N分別是邊AB、BC的中點，求PM+PN的最小值。(5分)

小題3:(3)拓展延伸
如(d)圖，在四邊形ABCD的對角線AC上找一點P，使∠APB=∠APD．保留作圖痕跡，不必寫出作法． (5分)

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(本小題滿分12分)
【小題1】 (1)觀察發(fā)現(xiàn)
如(a)圖，若點A，B在直線

同側(cè)，在直線

上找一點P，使AP+BP的值最小．
做法如下：作點B關(guān)于直線

的對稱點

，連接

，與直線

的交點就是所求的點P
再如(b)圖，在等邊三角形ABC中，AB=2，點E是AB的中點，AD是高，在AD上找一點P，使BP+PE的值最�。�
做法如下：作點B關(guān)于AD的對稱點，恰好與點C重合，連接CE交AD于一點，則這點就是所求的點P，故BP+PE的最小值為． (2分)

【小題2】(2)實踐運用
如圖，菱形ABCD的兩條對角線分別長6和8，點P是對角線AC上的一個動點，點M、N分別是邊AB、BC的中點，求PM+PN的最小值。(5分)

【小題3】(3)拓展延伸
如(d)圖，在四邊形ABCD的對角線AC上找一點P，使∠APB=∠APD．保留作圖痕跡，不必寫出作法． (5分)

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(本小題滿分12分)
【小題1】 (1)觀察發(fā)現(xiàn)
如(a)圖，若點A，B在直線同側(cè)，在直線上找一點P，使AP+BP的值最�。�
做法如下：作點B關(guān)于直線的對稱點，連接，與直線的交點就是所求的點P
再如(b)圖，在等邊三角形ABC中，AB=2，點E是AB的中點，AD是高，在AD上找一點P，使BP+PE的值最�。�
做法如下：作點B關(guān)于AD的對稱點，恰好與點C重合，連接CE交AD于一點，則這點就是所求的點P，故BP+PE的最小值為． (2分)

【小題2】(2)實踐運用
如圖，菱形ABCD的兩條對角線分別長6和8，點P是對角線AC上的一個動點，點M、N分別是邊AB、BC的中點，求PM+PN的最小值。(5分)

【小題3】(3)拓展延伸
如(d)圖，在四邊形ABCD的對角線AC上找一點P，使∠APB=∠APD．保留作圖痕跡，不必寫出作法． (5分)

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請閱讀下列材料：
（1）問題：如圖1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，點A，B，E在同一條直線上，P是線段DF的中點，連接PG，PC．若∠ABC=∠BEF=60°，探究PG與PC的位置關(guān)系及

PG

PC

的值．
（2）實驗與探究：延長GP交DC于點H，構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過推理使問題得到解決．
寫出上面問題中線段PG與PC的位置關(guān)系

垂直

；及

PG

PC

=

3

．
（3）歸納與發(fā)現(xiàn)：將圖1中的菱形BEFG繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，使菱形BEFG的對角線BF恰好與菱形ABCD的邊AB在同一條直線上，原問題中的其他條件不變（如圖2）．你在（1）中得到的兩個結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明．
運用與拓廣：
若圖1中∠ABC=∠BEF=2α（0°＜α＜90°），將菱形BEFG繞點B順時針旋轉(zhuǎn)任意角度，原問題中的其他條件不變，請你直接寫出

PG

PC

的值（用含α的式子表示）．

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(本小題滿分12分)

1. (1)觀察發(fā)現(xiàn)

如(a)圖，若點A，B在直線同側(cè)，在直線上找一點P，使AP+BP的值最�。�