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已知函數f(x)=e^x-ax，其中a＞0.

（1）若對一切x∈R，f(x) 1恒成立，求a的取值集合；

（2)在函數f(x)的圖像上去定點A（x₁, f(x₁)）,B(x₂, f(x₂))(x₁<x₂)，記直線AB的斜率為k，證明：存在x₀∈（x₁,x₂）,使恒成立.

【解析】解：令.

當時單調遞減；當時單調遞增，故當時，取最小值

于是對一切恒成立，當且僅當.　　　　　　　　①

令則

當時，單調遞增；當時，單調遞減.

故當時，取最大值.因此，當且僅當時，①式成立.

綜上所述，的取值集合為.

（Ⅱ）由題意知，令則

令，則.當時，單調遞減；當時，單調遞增.故當，即

從而，又

所以因為函數在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，所以存在使即成立.

【點評】本題考查利用導函數研究函數單調性、最值、不等式恒成立問題等，考查運算能力，考查分類討論思想、函數與方程思想等數學方法.第一問利用導函數法求出取最小值對一切x∈R，f(x) 1恒成立轉化為從而得出求a的取值集合；第二問在假設存在的情況下進行推理，然后把問題歸結為一個方程是否存在解的問題，通過構造函數，研究這個函數的性質進行分析判斷.

 

A、函數f（x）的值域為[1，4]

B、關于x的方程f（x）- 1 2n =0（n∈N*）有2n+4個不相等的實數根

C、當x∈[2，4]時，函數f（x）的圖象與x軸圍成的面積為2

D、存在實數x0，使得不等式x0f（x0）＞6成立

已知函數f（x）=e^x（ax+1）（e為自然對數的底，a∈R為常數）．對于函數h（x）和g（x），若存在常數k，m，對于任意x∈R，不等式h（x）≥kx+m≥g（x）都成立，則稱直線y=kx+m是函數h（x），g（x）的分界線．
（1）討論函數f（x）的單調性；
（2）設a=1，試探究函數f（x）與函數g（x）=-x²+2x+1是否存在“分界線”？若存在，求出分界線方程；若不存在，試說明理由．