函數(shù)與方程在解析幾何中的應(yīng)用例6．若.分別是橢圓的左.右焦點. (Ⅰ)若是該橢圓上的一個動點.求的最大值和最小值, (Ⅱ)設(shè)過定點.的直線與橢圓交于兩不同的點..且為銳角(其中為坐標(biāo)原點).求直線的斜率的取值范圍. 分析:(Ⅰ)中可以設(shè)出點的坐標(biāo).用坐標(biāo)表示出.得到函數(shù)求最值.(Ⅱ)中研究直線與橢圓的交點.需要解方程組.由韋達(dá)定理解答即可. 解:(Ⅰ)解法一:由橢圓方程知所以 .設(shè) 則又 ∴ .故當(dāng).即點為橢圓短軸端點時.有最小值當(dāng).即點為橢圓長軸端點時.有最大值．解法二:易知.所以.設(shè) 則 (Ⅱ)顯然當(dāng)直線的斜率不存在即時.不滿足題設(shè)條件可設(shè)的方程為.設(shè). 聯(lián)立得即 ∴ . 由即解得 ① 又為銳角 ∴ ∴ ∴ ∴ ② 綜①.②可知 ∴ 的取值范圍是．評注:解析幾何中點的坐標(biāo).線的方程都與函數(shù).方程是相通的.可以利用函數(shù)與方程的思想解答問題.在解方程組時要注意保證方程組有兩不同的解.求得參數(shù)的取值范圍. 例7．設(shè).橢圓方程為.拋物線方程為．如圖4所示.過點作軸的平行線.與拋物線在第一象限的交點為.已知拋物線在點的切線經(jīng)過橢圓的右焦點． (1)求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程, (2)設(shè)分別是橢圓長軸的左.右端點.試探究在拋物線上是否存在點.使得為直角三角形?若存在.請指出共有幾個這樣的點?并說明理由(不必具體求出這些點的坐標(biāo))．分析:本題中的拋物線可以看作為二次函數(shù).拋物線在點的切線的斜率就是該點處的函數(shù)的導(dǎo)數(shù).由此可以寫出此切線方程.從而得到橢圓的右焦點的坐標(biāo).進(jìn)而求出橢圓和拋物線的方程.(2)為探索結(jié)論問題.為直角三角形自然要考慮誰是直角.所以需要分類討論.并轉(zhuǎn)為方程確定其解的個數(shù). 解:(1)由得.當(dāng)?shù)? G點的坐標(biāo)為... 過點G的切線方程為即. 令得.點的坐標(biāo)為.由橢圓方程得點的坐標(biāo)為. 即.即橢圓和拋物線的方程分別為和, (2)過作軸的垂線與拋物線只有一個交點,以為直角的只有一個.同理以為直角的只有一個.若以為直角.設(shè)點坐標(biāo)為..兩點的坐標(biāo)分別為和. .關(guān)于的二次方程有一大于零的解.有兩解.即以為直角的有兩個.因此拋物線上存在四個點使得為直角三角形. 評注:本題較好地把圓錐曲線問題和函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)結(jié)合起來解答問題.一般地.對于已經(jīng)曲線的某一點處的切線.就要轉(zhuǎn)為函數(shù)求導(dǎo).從而求出其切線.另外.還要注意方程的解的個數(shù)的探討. 例8．若A.B是拋物線y2=4x上的不同兩點.弦AB(不平行于y軸)的垂直平分線與x軸相交于點P.則稱弦AB是點P的一條“相關(guān)弦 .已知當(dāng)x>2時.點P(x,0)存在無窮多條“相關(guān)弦 .給定x0>2. (I)證明:點P(x0,0)的所有“相關(guān)弦的中點的橫坐標(biāo)相同, (II) 試問:點P(x0,0)的“相關(guān)弦的弦長中是否存在最大值? 若存在.求其最大值(用x0表示):若不存在.請說明理由. 分析:本題(1)研究中點弦問題.可以用點差法.求得中點的坐標(biāo)從而證明,(2)可用中點的坐標(biāo)表示出弦長.得到關(guān)于中點的縱坐標(biāo)的函數(shù).再求出函數(shù)的值域. 解: (I)設(shè)AB為點P(x0,0)的任意一條“相關(guān)弦 .且點A.B的坐標(biāo)分別是 (x1,y1).(x2,y2)(x1x2),則y21=4x1, y22=4x2, 兩式相減得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2).因為x1x2,所以y1+y20. 設(shè)直線AB的斜率是k.弦AB的中點是M(xm, ym),則 k=.從而AB的垂直平分線l的方程為又點P(x0,0)在直線上.所以而于是故點P(x0,0)的所有“相關(guān)弦的中點的橫坐標(biāo)都是x0-2. 知.弦AB所在直線的方程是.代入中. 整理得 (·) 則是方程(·)的兩個實根.且設(shè)點P的“相關(guān)弦 AB的弦長為l.則因為0<<4xm=4(xm-2) =4x0-8,于是設(shè)t=,則t(0,4x0-8). 記l2=g(t)=-[t-2(x0-3)]2+4(x0-1)2. 若x0>3,則2(x0-3) (0, 4x0-8),所以當(dāng)t=2(x0-3),即=2(x0-3)時, l有最大值2(x0-1). 若2<x0<3,則2(x0-3)0,g(t)在區(qū)間(0.4 x0-8)上是減函數(shù). 所以0<l2<16(x0-2),l不存在最大值. 綜上所述.當(dāng)x0>3時.點P(x0,0)的“相關(guān)弦的弦長中存在最大值.且最大值為2(x0-1),當(dāng)2< x03時.點P(x0,0)的“相關(guān)弦的弦長中不存在最大值. 評注:本題中需要解方程組求弦長.弦長用弦的中點坐標(biāo)表示出來.可用配方法求得函數(shù)的值域.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中滲透著函數(shù)與方程的思想.在解決解析幾何問題時常常運用函數(shù)與方程的思想來解答. 【查看更多】

（理）已知函數(shù)f(x)=

ln(2-x2)

|x+2|-2

．
（1）試判斷f（x）的奇偶性并給予證明；
（2）求證：f（x）在區(qū)間（0，1）單調(diào)遞減；
（3）如圖給出的是與函數(shù)f（x）相關(guān)的一個程序框圖，試構(gòu)造一個公差不為零的等差數(shù)列
{a_n}，使得該程序能正常運行且輸出的結(jié)果恰好為0．請說明你的理由．
（文）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0的圓M的內(nèi)接四邊形ABCD的對角線AC和BD互相垂直，且AC和BD分別在x軸和y軸上．
（1）求證：F＜0；
（2）若四邊形ABCD的面積為8，對角線AC的長為2，且

AB

•

AD

=0，求D²+E²-4F的值；
（3）設(shè)四邊形ABCD的一條邊CD的中點為G，OH⊥AB且垂足為H．試用平面解析幾何的研究方法判
斷點O、G、H是否共線，并說明理由．

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（理）已知函數(shù)

．
（1）試判斷f（x）的奇偶性并給予證明；
（2）求證：f（x）在區(qū)間（0，1）單調(diào)遞減；
（3）如圖給出的是與函數(shù)f（x）相關(guān)的一個程序框圖，試構(gòu)造一個公差不為零的等差數(shù)列
{a_n}，使得該程序能正常運行且輸出的結(jié)果恰好為0．請說明你的理由．
（文）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0的圓M的內(nèi)接四邊形ABCD的對角線AC和BD互相垂直，且AC和BD分別在x軸和y軸上．
（1）求證：F＜0；
（2）若四邊形ABCD的面積為8，對角線AC的長為2，且

，求D²+E²-4F的值；
（3）設(shè)四邊形ABCD的一條邊CD的中點為G，OH⊥AB且垂足為H．試用平面解析幾何的研究方法判
斷點O、G、H是否共線，并說明理由．

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（理）已知函數(shù) $數(shù)學(xué)公式$ ．
（1）試判斷f（x）的奇偶性并給予證明；
（2）求證：f（x）在區(qū)間（0，1）單調(diào)遞減；
（3）如圖給出的是與函數(shù)f（x）相關(guān)的一個程序框圖，試構(gòu)造一個公差不為零的等差數(shù)列
{a_n}，使得該程序能正常運行且輸出的結(jié)果恰好為0．請說明你的理由．
（文）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0的圓M的內(nèi)接四邊形ABCD的對角線AC和BD互相垂直，且AC和BD分別在x軸和y軸上．
（1）求證：F＜0；
（2）若四邊形ABCD的面積為8，對角線AC的長為2，且 $數(shù)學(xué)公式$ ，求D²+E²-4F的值；
（3）設(shè)四邊形ABCD的一條邊CD的中點為G，OH⊥AB且垂足為H．試用平面解析幾何的研究方法判
斷點O、G、H是否共線，并說明理由．

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平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的向量都可以用一有序?qū)崝?shù)對唯一表示，這使我們想到可以用向量作為解析幾何的研究工具．如圖，設(shè)直線l的傾斜角為α(α≠90°)．在l上任取兩個不同的點，，不妨設(shè)向量的方向是向上的，那么向量的坐標(biāo)是()．過原點作向量，則點P的坐標(biāo)是()，而且直線OP的傾斜角也是α．根據(jù)正切函數(shù)的定義得