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由圓錐曲線的范圍引發(fā)的討論例11．我們把由半橢圓與半橢圓合成的曲線稱作“果圓 .其中..．如圖.設點..是相應橢圓的焦點..和.是“果圓與.軸的交點.是線段的中點． (1)若是邊長為1的等邊三角形.求該 “果圓的方程, (2)設是“果圓的半橢圓上任意一點．求證:當取得最小值時. 在點或處, (3)若是“果圓上任意一點.求取得最小值時點的橫坐標．分析: 本題中的果圓兩部分之間的聯(lián)系在于有共同的頂點.以此為據(jù)求解方程.則由距離公式轉化為二次函數(shù)研究最值.但要注意圓錐曲線的范圍.即得到二次函數(shù)的定義域.在其定義域內(nèi)求函數(shù)的最值. 解:(1) . . 于是. 所求“果圓方程為.． (2)設.則 . . 的最小值只能在或處取到．即當取得最小值時.在點或處． (3).且和同時位于“果圓的半橢圓和半橢圓上.所以.由(2)知.只需研究位于“果圓的半橢圓上的情形即可．．當.即時.的最小值在時取到. 此時的橫坐標是．當.即時.由于在時是遞減的.的最小值在時取到.此時的橫坐標是．綜上所述.若.當取得最小值時.點的橫坐標是,若.當取得最小值時.點的橫坐標是或．評注:本題的創(chuàng)意在于把焦點在軸上和焦點在軸上的橢圓聯(lián)為一體.看似陌生實質(zhì)為基本知識.要善于發(fā)現(xiàn)解決問題的突破口.在把幾何問題轉化為函數(shù)問題時.應該有函數(shù)意識.尋求函數(shù)的定義域.即圓錐曲線的范圍.并在定義域內(nèi)求值域. 例12．已知橢圓C:=1的離心率為,短軸一個端點到右焦點的距離為. (Ⅰ)求橢圓C的方程; (Ⅱ)設直線l與橢圓C交于A.B兩點.坐標原點O到直線l的距離為.求△AOB面積的最大值. 分析:要求三角形的面積.需要由斜截式寫出直線的方程.解方程組求弦長和頂點到直線的距離.但用斜截式寫方程時要注意其斜率是否存在.不定則需討論. 解:(Ⅰ)設橢圓的半焦距為.依題意 .所求橢圓方程為． (Ⅱ)設.． (1)當軸時.． (2)當與軸不垂直時.設直線的方程為．由已知.得．把代入橢圓方程.整理得. .．．當且僅當.即時等號成立．當時.. 綜上所述．當最大時.面積取最大值．評注:在研究直線與圓錐曲線的位置關系時.要注意直線的斜率是否存在.一般要分情況討論. 【查看更多】

題目列表(包括答案和解析)

設點A，B的坐標分別為（-a，0），（a，0）．直線AM，BM相交于點M，且他們的斜率之積為k．則下列說法正確的是

（2）（3）

（1）當k=

時，點M的軌跡是雙曲線．（其中a，b∈R⁺）
（2）當k=-

時，點M的軌跡是部分橢圓．（其中a，b∈R⁺）
（3）在（1）條件下，點p（x₀，y₀）（x₀＜0）是曲線上的點F₁（-

a2+b2

，0)，F(xiàn)₂（

a2+b2

，0），且|PF₁|=

|PF₂|，則（1）的軌跡所在的圓錐曲線的離心率取值范圍（1，

]
（4）在（2）的條件下，過點F₁（-

a2-b2

，0），F(xiàn)₂（

a2-b2

，0）．滿足

MF1

•

MF2

=0的點M總在曲線的內(nèi)部，則（2）的軌跡所在的圓錐曲線的離心率的取值范圍是(

，1)．

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如圖，直線l₁和l₂相交于點M且l₁⊥l₂，點N∈l₁．以A、B為端點的曲線段C上的任一點到l₂的距離與到點N的距離相等．若△AMN為銳角三角形，|AM|=

，|AN|=3，且|BN|=6．
（1）曲線段C是哪類圓錐曲線的一部分？并建立適當?shù)淖鴺讼�，求曲線段C所在的圓錐曲線的標準方程；
（2）在（1）所建的坐標系下，已知點P（m，n）在曲線段C上，直線l：mx+ny=1，求直線l被圓x²+y²=1截得的弦長的取值范圍．

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與圓類似，連接圓錐曲線上兩點的線段叫做圓錐曲線的弦．過有心曲線（橢圓、雙曲線）中心（即對稱中心）的弦叫做有心曲線的直徑．對圓x²+y²=r²，由直徑所對的圓周角是直角出發(fā)，可得：若AB是圓O的直徑，M是圓O上異于A、B的一點，且AM，BM均與坐標軸不平行，則k_AM•k_BM=-1．類比到橢圓