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8．數(shù)列問題的轉化 例13．若數(shù)列滿足.則稱數(shù)列為調和數(shù)列.已知數(shù)列為調和數(shù)列.且.則 . 分析:根據(jù)調和數(shù)列的定義.可以看出其倒數(shù)數(shù)列符合等差數(shù)列的定義.由此可以轉化.利用等差數(shù)列的定義求出前項和. 解:根據(jù)調和數(shù)列的定義知:數(shù)列為調和數(shù)列.則.也就是數(shù)列為等差數(shù)列.現(xiàn)在數(shù)列為調和數(shù)列.則數(shù)列為等差數(shù)列.那么由.得.20 答案:20 評注:本題為新定義題.但也不要被表象所迷惑.通過現(xiàn)象看本質.轉化為我們熟悉的特殊數(shù)列等差數(shù)列進一步解答.此題中注意角色的變化.數(shù)列為調和數(shù)列.數(shù)列為等差數(shù)列是解題的關鍵. 例14．已知數(shù)列的首項..-． (Ⅰ)證明:數(shù)列是等比數(shù)列,(Ⅱ)數(shù)列的前項和． 分析:對于證明數(shù)列為等比數(shù)列.要按定義證明.但證明完后也提示我們下一步要用等比數(shù)列求出數(shù)列的通項公式.然后進一步判斷數(shù)列的類型.從而求出其前項和. 解:(Ⅰ) . . .又.. 數(shù)列是以為首項.為公比的等比數(shù)列． 知.即.． 設-. ① 則-.② 由①②得-. ．又-． 數(shù)列的前項和 評注:解決數(shù)列問題就要判斷是否為等差.等比數(shù)列.如果不是.那么能否構造新數(shù)列為特殊數(shù)列.注意轉換角色.把數(shù)列問題轉化為我們熟悉的特殊數(shù)列問題和研究方法解答. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

（本小題滿分14分）

設數(shù)列{n}的首項1=1，前n項和Sn滿足關系式：3tSn－（2t+3）Sn－1=3t(t＞0，n=2，3，4……)。

(Ⅰ)求證：數(shù)列{n}是等比數(shù)例；

(Ⅱ)設數(shù)列{n}的公比為ƒ (t),作數(shù)列{bn}，使b1=1，bn＝ƒ( )(n=2,3,4……)，求數(shù)列{bn}的通項bn；

(Ⅲ)求和：b1b2－b2b3+b3b4－…+b2n-1b2n－b2nb2n-1.

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（本小題滿分14分）

設數(shù)列{n}的首項1=1，前n項和Sn滿足關系式：3tSn－（2t+3）Sn－1=3t(t＞0，n=2，3，4……)。

(Ⅰ)求證：數(shù)列{n}是等比數(shù)例；

(Ⅱ)設數(shù)列{n}的公比為ƒ (t),作數(shù)列{bn}，使b1=1，bn＝ƒ( )(n=2,3,4……)，求數(shù)列{bn}的通項bn；

(Ⅲ)求和：b1b2－b2b3+b3b4－…+b2n-1b2n－b2nb2n-1.

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在等比數(shù)列{an}中，a4=
2
3
 ， a3+a5=
20
9
．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）若數(shù)列{an}的公比大于1，且bn=log3
an
2
，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn．

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20、若有窮數(shù)列a1，a2…an（n是正整數(shù)），滿足a1=an，a2=an-1…an=a1即ai=an-i+1
（i是正整數(shù)，且1≤i≤n），就稱該數(shù)列為“對稱數(shù)列”．
（1）已知數(shù)列{bn}是項數(shù)為7的對稱數(shù)列，且b1，b2，b3，b4成等差數(shù)列，b1=2，b4=11，試寫出{bn}的每一項
（2）已知{cn}是項數(shù)為2k-1（k≥1）的對稱數(shù)列，且ck，ck+1…c2k-1構成首項為50，公差為-4的等差數(shù)列，數(shù)列{cn}的前2k-1項和為S2k-1，則當k為何值時，S2k-1取到最大值？最大值為多少？
（3）對于給定的正整數(shù)m＞1，試寫出所有項數(shù)不超過2m的對稱數(shù)列，使得1，2，22…2m-1成為數(shù)列中的連續(xù)項；當m＞1500時，試求其中一個數(shù)列的前2008項和S2008

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已知
x
，
f(x)
2
，
3
(x≥0)成等差數(shù)列．又數(shù)列an（an＞0）中a1=3此數(shù)列的前n項的和Sn（n∈N+）對所有大于1的正整數(shù)n都有Sn=f（Sn-1）．
（1）求數(shù)列an的第n+1項；
（2）若
bn
是
1
an+1
 
1
an
的等比中項，且Tn為{bn}的前n項和，求Tn．

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