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立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題 例17.如圖.有一圓柱形的開口容器.其軸截面是邊長為2的正方形.P是BC中點.現(xiàn)有一只螞蟻位于外壁A處.內(nèi)壁P處有一米粒.則這只螞蟻取得米粒所需經(jīng)過的最短路程為 ． 分析:研究最短距離.需要把立體圖展為平面圖.由兩點間的線段最短.求線段的長. 解:把圓柱側(cè)面展開.并把里面也展開.如圖所示.則這只螞蟻取得米粒所需經(jīng)過的 最短路程為展開圖中的線段.則 答案: 評注:研究立體問題常常以平面為基準.把立體問題 轉(zhuǎn)化為平面問題.把曲線問題轉(zhuǎn)化為直線問題. 這是解決問題的轉(zhuǎn)化與化歸思想. 例18.如圖.在四棱錐中. 底面四邊長為1的菱形., , ,為的中點.為的中點 (Ⅰ)證明:直線, (Ⅱ)求異面直線AB與MD所成角的大小, (Ⅲ)求點B到平面OCD的距離. 分析:要證線面平行,可以在面內(nèi)找的平行線,取的中點,通過線線平行證出,也可以找平面的平行平面通過面面平行證出; 異面直線AB與MD所成角可以通過平移轉(zhuǎn)化為平面角求出;而(Ⅲ)中點B到平面OCD的距離不易找出,可以利用線轉(zhuǎn)化為點A到平面OCD的距離求出.還可以用向量法通過計算解答各題. 解法一:取OB中點E.連接ME.NE 又 (2) 為異面直線與所成的角 作連接 所以 與所成角的大小為 (3)點A和點B到平面OCD的距離相等.連接OP,過點A作 于點Q. 又 ,線段AQ的長就是點A到平面OCD的距離 . .所以點B到平面OCD的距離為 解法二.作于點P,如圖,分別以AB,AP,AO所在直線為軸建立坐標系 (1) 設(shè)平面OCD的法向量為,則 即 取,解得 (2)設(shè)與所成的角為, , 與所成角的大小為 (3)設(shè)點B到平面OCD的距離為,則為在向量上的投影的絕對值, 由 , 得.所以點B到平面OCD的距離為 評注:立體幾何問題一般都可以用兩種方法綜合法和向量法.都要經(jīng)過轉(zhuǎn)化,把立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題,將空間問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算從而證得求出. 例19.如圖.已知四棱錐.底面為菱形.平面..分別是的中點． (Ⅰ)證明:, (Ⅱ)若為上的動點.與平面所成 最大角的正切值為.求二面角的余弦值． 分析:比較容易證出,可以轉(zhuǎn)化為線面垂直證明出, (Ⅱ)的點為上的動點,而且與平面所成最大角不太容易找到,根據(jù)(Ⅰ)就要轉(zhuǎn)化為點到的距離最短,然后求出確定位置.另外,對于點的位置不確定而且比較容易建立直角坐標系時,用坐標計算比較簡單. 解:(Ⅰ)證明:由四邊形為菱形..可得為正三角形． 因為為的中點.所以．又.因此． 因為平面.平面.所以． 而平面.平面且. 所以平面．又平面.所以． (Ⅱ)解:設(shè).為上任意一點.連接． 由(Ⅰ)知平面.則為與平面所成的角． 在中..所以當最短時.最大. 即當時.最大．此時. 因此．又.所以.所以． 解法一:因為平面.平面.所以平面平面． 過作于.則平面.過作于.連接.則為二面角的平面角.在中...又是的中點.在中.. 又.在中..即所求二面角的余弦值為． 解法二:由(Ⅰ)知兩兩垂直.以為坐標原點.建立如圖所示的空間直角坐標系.又分別為的中點.所以 ..所以． 設(shè)平面的一法向量為. 則因此 取.則.因為... 所以平面.故為平面的一法向量．又. 所以．因為二面角為銳角. 所以所求二面角的余弦值為． 評注:本題為探索性問題.難度比較大.特別是在使用線面角時不易找出.這就需要我們耐心分析.仔細體會前后問之間的關(guān)系.能否打通思路.把問題進行適當?shù)剞D(zhuǎn)化.做到立體問題平面化.幾何問題代數(shù)化.利用化歸思想解答問題. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

在多面體和旋轉(zhuǎn)體中的有關(guān)計算通常轉(zhuǎn)化為平面圖形(三角形或特殊的四邊形)來計算．對于棱錐中的計算問題往往要構(gòu)造直角三角形，即棱錐的高、斜高以及斜高在底面上的射影構(gòu)成的直角三角形，或者由棱錐的高、側(cè)棱以及側(cè)棱在底面上的射影構(gòu)成的三角形，對于棱臺往往要構(gòu)造直角梯形和直角三角形；在旋轉(zhuǎn)體中通常要過旋轉(zhuǎn)軸作截面得到直角三角形、矩形或等腰梯形．試解決下列問題：

圓臺上底的面積為16πcm2，下底半徑為6 cm，母線長為10 cm，那么，圓臺的側(cè)面積和體積是多少？

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閱讀下面所給材料：已知數(shù)列{an}，a1=2，an=3an-1+2，求數(shù)列的通項an．
解：令an=an-1=x，則有x=3x+2，所以x=-1，故原遞推式an=3an-1+2可轉(zhuǎn)化為：
an+1=3（an-1+1），因此數(shù)列{an+1}是首項為a1+1，公比為3的等比數(shù)列．
根據(jù)上述材料所給出提示，解答下列問題：
已知數(shù)列{an}，a1=1，an=3an-1+4，
（1）求數(shù)列的通項an；并用解析幾何中的有關(guān)思想方法來解釋其原理；
（2）若記Sn=
n
k=1
1
lg(ak+2)lg(ak+1+2)
，求
lim
n→∞
Sn；
（3）若數(shù)列{bn}滿足：b1=10，bn+1=100bn3，利用所學過的知識，把問題轉(zhuǎn)化為可以用閱讀材料的提示，求出解數(shù)列{bn}的通項公式bn．

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下列命題中正確的是
①任何兩個變量都具有相關(guān)關(guān)系
②圓的周長與該圓的半徑具有相關(guān)關(guān)系
③某商品的需求量與該商品的價格是一種非確定性關(guān)系
④根據(jù)散點圖求得的回歸直線方程可能是沒有意義的
⑤兩個變量間的相關(guān)關(guān)系可以通過回歸直線，把非確定性問題轉(zhuǎn)化為確定性問題進行研究


  1. A.
    ①③④
  2. B.
    ②④⑤
  3. C.
    ③④⑤
  4. D.
    ②③⑤

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下列命題中正確的是  （　�。�

    ①任何兩個變量都具有相關(guān)關(guān)系�、趫A的周長與該圓的半徑具有相關(guān)關(guān)系�、勰成唐返男枨罅颗c該商品的價格是一種非確定性關(guān)系　④根據(jù)散點圖求得的回歸直線方程可能是沒有意義的�、輧蓚�變量間的相關(guān)關(guān)系可以通過回歸直線，把非確定性問題轉(zhuǎn)化為確定性問題進行研究

    A．①③④        B．②④⑤

    C．③④⑤        D．②③⑤

   

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下列五個命題，正確命題的序號為_____________.

①任何兩個變量都具有相關(guān)關(guān)系

②圓的周長與該圓的半徑具有相關(guān)關(guān)系

③某商品的需求量與該商品的價格是一種非確定性關(guān)系

④根據(jù)散點圖求得的回歸直線方程可能是沒有意義的

⑤兩個變量間的相關(guān)關(guān)系可以通過回歸直線，把非確定性問題轉(zhuǎn)化為確定性問題進行研究

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