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平面內(nèi)有n個(gè)圓.任意兩個(gè)圓都相交于兩點(diǎn).任何三個(gè)圓都不相交于同一點(diǎn).求證這n個(gè)圓將平面分成f(n)=n2-n+2個(gè)部分. 證明:(1)當(dāng)n=1時(shí).一個(gè)圓將平面分成兩個(gè)部分.且f(1)=1-1+2=2. 因此.n=1時(shí)命題成立. (2)假設(shè)n=k時(shí)命題成立.即k個(gè)圓把平面分成f(k)=k2-k+2個(gè)部分. 則n=k+1時(shí).在k+1個(gè)圓中任取一個(gè)圓C.剩下的k個(gè)圓將平面分成f(k)個(gè)部分.而圓C與k個(gè)圓有2k個(gè)交點(diǎn).這2k個(gè)交點(diǎn)將圓C分成2k段弧.每段弧將它所在的平面部分一分為二.故共增加了2k個(gè)平面部分.因此:f(k+1)=f(k)+2k=k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2. ∴n=k+1時(shí)命題也成立. 由知對(duì)一切n∈N*.命題都成立. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

平面內(nèi)有n個(gè)圓（n≥2），其中任何兩個(gè)都相交于兩點(diǎn)，任三個(gè)圓都不過(guò)同一點(diǎn)，則交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為

A.2n－2                       B.n2－n                        C.n2－2                        D.n（n+1）

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