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已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(x)＝，a≠0，f(1)＝1，且使f(x)＝2x成立的實(shí)數(shù)x只有一個(gè)．

(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式；

(2)若數(shù)列{a_n}滿足a₁＝，a_n+1＝f(a_n)，b_n＝－1，n∈N^*，證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，并求出{b_n}的通項(xiàng)公式；

(3)在(2)的條件下，證明：a₁b₁＋a₂b₂＋…＋a_nb_n<1(n∈N^*)．

【解析】解： (1)由f(x)＝，f(1)＝1，得a＝2b＋1.

由f(x)＝2x只有一解，即＝2x，

也就是2ax²－2(1＋b)x＝0(a≠0)只有一解，

∴b＝－1.∴a＝－1.故f(x)＝.…………………………………………4分

(2)a_n＋1＝f(a_n)＝(n∈N^*)，b_n＝－1， ∴＝＝＝，

∴{b_n}為等比數(shù)列，q＝.又∵a₁＝，∴b₁＝－1＝，

b_n＝b₁q^n－1＝^n－1＝ⁿ(n∈N^*)．……………………………9分

(3)證明：∵a_nb_n＝a_n＝1－a_n＝1－＝，

∴a₁b₁＋a₂b₂＋…＋a_nb_n＝＋＋…＋<＋＋…＋

＝＝1－<1(n∈N^*)．

已知函數(shù)，數(shù)列的項(xiàng)滿足： ，（1）試求

（2） 猜想數(shù)列的通項(xiàng)，并利用數(shù)學(xué)歸納法證明.

【解析】第一問(wèn)中，利用遞推關(guān)系,

,   

第二問(wèn)中，由（1）猜想得：然后再用數(shù)學(xué)歸納法分為兩步驟證明即可。

解: (1) ,

,    …………….7分

（2）由（1）猜想得：

（數(shù)學(xué)歸納法證明）i) ,  ,命題成立

ii) 假設(shè)時(shí)，成立

則時(shí)，

綜合i),ii) : 成立

先閱讀理解下面的例題，再按要求解答：

例題：解一元二次不等式.

解：∵，

∴.

由有理數(shù)的乘法法則“兩數(shù)相乘，同號(hào)得正”，有

（1）            （2）

解不等式組（1），得，

解不等式組（2），得，

故的解集為或，

即一元二次不等式的解集為或.

    問(wèn)題：求分式不等式的解集.

先閱讀理解下面的例題，再按要求解答：

例題：解一元二次不等式.

解：∵，

∴.

由有理數(shù)的乘法法則“兩數(shù)相乘，同號(hào)得正”，有

（1）            （2）

解不等式組（1），得，

解不等式組（2），得，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

故的解集為或，

即一元二次不等式的解集為或.