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2．掌握研究函數(shù)的方法.提高研究函數(shù)問(wèn)題的能力 高中數(shù)學(xué)對(duì)函數(shù)的研究理論性加強(qiáng)了.對(duì)一些典型問(wèn)題的研究十分重視.如求函數(shù)的定義域.確定函數(shù)的解析式.判斷函數(shù)的奇偶性.判斷或證明函數(shù)在指定區(qū)間的單調(diào)性等.并形成了研究這些問(wèn)題的初等方法.這些方法對(duì)分析問(wèn)題能力.推理論證能力和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)能力的培養(yǎng)和發(fā)展是十分重要的． 函數(shù).方程.不等式是相互聯(lián)系的．對(duì)于函數(shù)f.f則分別構(gòu)成方程和不等式.因此對(duì)于某些方程.不等式的問(wèn)題用函數(shù)觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)是十分有益的,方程.不等式從另一個(gè)側(cè)面為研究函數(shù)提供了工具． 例10．方程lgx+x=3的解所在區(qū)間為( ) A． C． 分析:在同一平面直角坐標(biāo)系中.畫(huà)出函數(shù)y=lgx與y=-x+3的圖象．它們的交點(diǎn)橫坐標(biāo).顯然在區(qū)間(1.3)內(nèi).由此可排除A.D．至于選B還是選C.由于畫(huà)圖精確性的限制.單憑直觀就比較困難了．實(shí)際上這是要比較與2的大�。�(dāng)x=2時(shí).lgx=lg2.3-x=1．由于lg2＜1.因此＞2.從而判定∈(2.3).故本題應(yīng)選C． 說(shuō)明:本題是通過(guò)構(gòu)造函數(shù)用數(shù)形結(jié)合法求方程lgx+x=3解所在的區(qū)間．?dāng)?shù)形結(jié)合.要在結(jié)合方面下功夫．不僅要通過(guò)圖象直觀估計(jì).而且還要計(jì)算的鄰近兩個(gè)函數(shù)值.通過(guò)比較其大小進(jìn)行判斷． 例11．=kx+h＞0.f(n)＞0.則對(duì)于任意x∈＞0.試證明之, (2)試用上面結(jié)論證明下面的命題: 若a.b.c∈R且|a|＜1.|b|＜1.|c|＜1.則ab+bc+ca＞-1． 分析:問(wèn)題(1)實(shí)質(zhì)上是要證明.一次函數(shù)f. x∈．若區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值均為正.則對(duì)于任意x∈＞0．之所以具有上述性質(zhì)是由于一次函數(shù)是單調(diào)的．因此本問(wèn)題的證明要從函數(shù)單調(diào)性入手． (1)證明: 當(dāng)k＞0時(shí).函數(shù)f(x)=kx+h在x∈R上是增函數(shù).m＜x＜n.f＞0, 當(dāng)k＜0時(shí).函數(shù)f(x)=kx+h在x∈R上是減函數(shù).m＜x＜n.f＞0． 所以對(duì)于任意x∈＞0成立． (2)將ab+bc+ca+1寫(xiě)成(b+c)a+bc+1.構(gòu)造函數(shù)fx+bc+1．則 fa+bc+1． 當(dāng)b+c=0時(shí).即b=-c. f(a)=bc+1=-c2+1． 因?yàn)閨c|＜1.所以f(a)=-c2+1＞0． 當(dāng)b+c≠0時(shí).fx+bc+1為x的一次函數(shù)． 因?yàn)閨b|＜1.|c|＜1. f=-b-c+bc+1=＞0． 由問(wèn)題(1)對(duì)于|a|＜1的一切值fa+bc+1=ab+ac+bc+1＞0． 說(shuō)明:問(wèn)題(2)的關(guān)鍵在于“轉(zhuǎn)化 “構(gòu)造 ．把證明ab+bc+ca＞-1轉(zhuǎn)化為證明ab+bc+ca+1＞0. 由于式子ab+bc+ca+1中. a.b.c是對(duì)稱(chēng)的.構(gòu)造函數(shù)f=(b+c)a+bc+1.問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在|a|＜1.|b|＜1.|c|＜1的條件下證明f=＞0). 例12．定義在R上的單調(diào)函數(shù)f=log3且對(duì)任意x.y∈R都有f． 為奇函數(shù), (2)若f(k·3)+f(3-9-2)＜0對(duì)任意x∈R恒成立.求實(shí)數(shù)k的取值范圍． 分析:欲證f(x)為奇函數(shù)即要證對(duì)任意x都有f成立．在式子f中.令y=-x可得f于是又提出新的問(wèn)題.求f(0)的值．令x=y=0可得f=0.f(x)是奇函數(shù)得到證明． +f. ① 令x=y=0.代入①式.得f.即 f(0)=0． 令y=-x.代入①式.得 f.又f(0)=0.則有 0=f=-f(x)對(duì)任意x∈R成立.所以f(x)是奇函數(shù)． =log3＞0.即f在R上是單調(diào)函數(shù).所以f(x)在R上是增函數(shù).又由是奇函數(shù)． f(k·3)＜-f(3-9-2)=f(-3+9+2). k·3＜-3+9+2. 3-(1+k)·3+2＞0對(duì)任意x∈R成立． 令t=3＞0.問(wèn)題等價(jià)于t-(1+k)t+2＞0對(duì)任意t＞0恒成立． R恒成立． 說(shuō)明:問(wèn)題(2)的上述解法是根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)．f(x)是奇函數(shù)且在x∈R上是增函數(shù).把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)f(t)=t-(1+k)t+2對(duì)于任意t＞0恒成立．對(duì)二次函數(shù)f(t)進(jìn)行研究求解．本題還有更簡(jiǎn)捷的解法: 分離系數(shù)由k·3＜-3+9+2得 上述解法是將k分離出來(lái).然后用平均值定理求解.簡(jiǎn)捷.新穎． 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

同學(xué)們學(xué)習(xí)了《必修1》的函數(shù)一章，初步掌握了研究函數(shù)的一些基本方法。在下面的學(xué)習(xí)中我們將接觸三角函數(shù)，比如我們要學(xué)習(xí)“正弦三角函數(shù)y=sinx”,請(qǐng)你談?wù)勀阆霃哪菐讉�(gè)方面來(lái)研究這個(gè)函數(shù)。（可類(lèi)比研究指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的方法，至少說(shuō)出4個(gè)方面）

1、­­                           

 

2、                           

 

3、                           

 

4、                           

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