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[例1]已知f(x)是定義在[-1,1]上的奇函數(shù).且f(1)=1.若m.n∈[-1,1].m+n≠0時＞0. (1)用定義證明f(x)在[-1,1]上是增函數(shù), (2)解不等式 f(x+)＜f(), (3)若f(x)≤t2-2at+1對所有x∈[-1,1].a∈[-1,1]恒成立.求實數(shù)t的取值范圍 (1).證明任取x1＜x2.且x1.x2∈[-1,1]. 則f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2) =·(x1-x2) ∵-1≤x1＜x2≤1. ∴x1+(-x2)≠0.由已知＞0.又 x1-x2＜0. ∴f(x1)-f(x2)＜0.即f(x)在[-1,1]上為增函數(shù). (2)解 ∵f(x)在[-1,1]上為增函數(shù). ∴ 解得:{x|-≤x＜-1.x∈R} (3)解由(1)可知f(x)在[-1,1]上為增函數(shù).且f(1)=1. 故對x∈[-1,1].恒有f(x)≤1. 所以要使f(x)≤t2-2at+1對所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立.即要t2-2at+1≥1成立. 故t2-2at≥0.記g(a)=t2-2at.對a∈[-1,1].有 g(a)≥0. 只需g(a)在[-1,1]上的最小值大于等于0. g(-1)≥0.g(1)≥0. 解得.t≤-2或t=0或t≥2 ∴t的取值范圍是 {t|t≤-2或t=0或t≥2} ◆提煉方法函數(shù)的單調(diào)性的判定就是不等式的判定,題(2)中利用單調(diào)性把函數(shù)值的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量的大小關(guān)系是最常用的手法,要熟練掌握. [例2]已知奇函數(shù)f(x) 在上有定義,在上是增函數(shù),f(1)=0,又知函數(shù): 集合 ,求M∩N 解:f(x)是奇函數(shù), 在上遞增,則f(x) 在也遞增.又由f(1)=0得f(-1)=0. 令t=cosθ則t∈[0,1],又設(shè) 要使δ在[0,1]內(nèi)最大值小于零. 10 當 30當時綜上: [例3]已知某種商品的定價上漲成(1成即為.成即為).其銷售量便相應減少成.按規(guī)定.稅金是從銷售額中按一定的比例繳納.如果這種商品的定價無論如何變化.從銷售額中扣除稅金后的金額總比漲價前的銷售額少.試求這時稅率的取值范圍解:設(shè)原定價為元/件.原銷售量為件.則原銷售額為元.由已知得 ① ①式恒成立. ∴△<0.解得.故11.1%<<1, 即稅率的取值范圍∈. [例4]設(shè)計一幅宣傳畫.要求畫面面積為4840cm2.畫面的寬與高的比為λ.畫面的上下各留8cm的空白.左右各留5cm的空白.問怎樣確定畫面的高與寬的尺寸.能使宣傳畫所用紙張面積最小?如果.那么為何值時.能使宣傳畫所用紙張面積最小? 解:設(shè)畫面的高為.寬為.則.設(shè)紙張面積為.則有 . 當且僅當時.即時.取最小值.此時.高. 寬. 如果.則上述等號不能成立.現(xiàn)證函數(shù) S(λ)在上單調(diào)遞增.設(shè), 則因為. 又. 所以.故在上單調(diào)遞增,因此對.當時.取得最小值. ◆提煉方法: 用均值不等式求最值時.如果滿足“一正二定三相等 .則可直接求解,如果不符合條件中的相等.則應先判斷函數(shù)的單調(diào)性后在求解. [研討.欣賞]已知拋物線y=ax2-1上存在關(guān)于直線x+y=0成軸對稱的兩點.試求實數(shù)a的取值范圍. 解法一:設(shè)拋物線上關(guān)于直線l對稱的兩相異點為P(x1.y1).Q(x2.y2).線段PQ的中點為M(x0.y0).設(shè)直線PQ的方程為y=x+b.由于P.Q兩點存在.所以方程組有兩組不同的實數(shù)解.即得方程 ax2-x-(1+b)=0. ① 判別式Δ=1+4a(1+b)＞0. ② 由①得x0==.y0=x0+b=+b. ∵M∈l.∴0=x0+y0=++b. 即b=-.代入②解得a＞. 解法二:設(shè)同解法一.由題意得將①②代入③④.并注意到a≠0.x1-x2≠0.得由二元均值不等式易得 2(x12+x22)＞(x1+x2)2(x1≠x2). 將⑤⑥代入上式得 2(-+)＞()2.解得a＞. 解法三:同解法二.由①-②.得 y1-y2=a(x1+x2)(x1-x2). ∵x1-x2≠0.∴a(x1+x2)==1. ∴x0==.∵M(x0.y0)∈l. ∴y0+x0=0.即y0=-x0=-.從而PQ的中點M的坐標為(.-). ∵M在拋物線內(nèi)部. ∴a()2-(-)-1＜0. 解得a＞.(舍去a＜0.為什么?) 【查看更多】

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已知f(x)是定義在(－3,3)上的奇函數(shù)，當0<x<3時，f(x)的圖象如圖所示，那么不等式f(x)cosx<0

的解集是(　　)