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中國籃球職業(yè)聯賽某賽季的總決賽在某兩隊之間角逐，采用七局四勝制，即若有一隊先勝四場，則此隊獲勝，比賽就此結束．因兩隊實力相當，每場比賽獲勝的可能性相等．據以往資料統計，第一場比賽組織者可獲門票收入30萬元，以后每場比賽門票收入都比上一場增加10萬元，當兩隊決出勝負后．問：

(1)組織者在此次決賽中要獲得門票收入為180萬元須比賽多少場？

(2)組織者在此次決賽中獲得門票收入不少于330萬元的概率為多少？

分析：本題是一個概率與數列的綜合試題，可以首先求出收入的通項公式，從而得出比賽的場數，再確定其概率．

某市投資甲、乙兩個工廠，2011年兩工廠的產量均為100萬噸，在今后的若干年內，甲工廠的年產量每年比上一年增加10萬噸，乙工廠第年比上一年增加萬噸，記2011年為第一年，甲、乙兩工廠第年的年產量分別為萬噸和萬噸．

（Ⅰ）求數列，的通項公式；

（Ⅱ）若某工廠年產量超過另一工廠年產量的2倍，則將另一工廠兼并，問到哪一年底，其中哪一個工廠被另一個工廠兼并．

【解析】本試題主要考查數列的通項公式的運用。

第一問由題得a_n=10n+90，b_n=100+2+2²+2³+…+2^n-1=100+2(1-2^n-1)/ 1-2 =2ⁿ+98

第二問，考查等差數列與等比數列的綜合，考查用數列解決實際問題，其步驟是建立數列模型，進行計算得出結果，再反饋到實際中去解決問題．由于比較兩個工廠的產量時兩個函數的形式較特殊，不易求解，故采取了列舉法，數據列舉時作表格比較簡捷．

解：（Ⅰ）由題得a_n=10n+90，b_n=100+2+2²+2³+…+2^n-1=100+2(1-2^n-1)/ 1-2 =2ⁿ+98……6分

（Ⅱ）由于n，各年的產量如下表 

n       1     2    3      4     5     6     7     8    

a_n      100   110   120   130   140   150  160   170

b_n      100   102    106  114   130   162   226   354

2015年底甲工廠將被乙工廠兼并

（本小題滿分14分）
設數列的前項和為，對任意的正整數，都有成立，記。
（Ⅰ）求數列與數列的通項公式；
（Ⅱ）設數列的前項和為，是否存在正整數，使得成立？若存在，找出一個正整數；若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）記，設數列的前項和為，求證：對任意正整數都有。

（2009四川卷文）（本小題滿分14分）

設數列的前項和為，對任意的正整數，都有成立，記。                                       

（I）求數列與數列的通項公式；

（II）設數列的前項和為，是否存在正整數，使得成立？若存在，找出一個正整數；若不存在，請說明理由；

（III）記，設數列的前項和為，求證：對任意正整數都有；

（本小題滿分12分）

已知數列的前三項與數列的前三項對應相同，且對任意的都成立，數列是等差數列

（1）   求數列與的通項公式；

（2）   是否存在使得？請說明理由。