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設(shè),在平面直角坐標(biāo)系中,已知向量,向量,,動點的軌跡為E. (1)求軌跡E的方程,并說明該方程所表示曲線的形狀; (2)已知,證明:存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個交點A,B,且,并求出該圓的方程; (3)已知,設(shè)直線與圓C:相切于A1,且與軌跡E只有一個公共點B1,當(dāng)R為何值時,|A1B1|取得最大值?并求最大值. 解:(1)因為,,, 所以, 即. 當(dāng)m=0時,方程表示兩直線,方程為; 當(dāng)時, 方程表示的是圓當(dāng)且時,方程表示的是橢圓; 當(dāng)時,方程表示的是雙曲線. (2).當(dāng)時, 軌跡E的方程為,設(shè)圓心在原點的圓的一條切線為,解方程組得,即, 要使切線與軌跡E恒有兩個交點A,B, 則使△=, 即,即, 且 , 要使, 需使,即, 所以, 即且, 即恒成立. 所以又因為直線為圓心在原點的圓的一條切線, 所以圓的半徑為,, 所求的圓為. 當(dāng)切線的斜率不存在時,切線為,與交于點或也滿足. 綜上, 存在圓心在原點的圓.使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且. (3)當(dāng)時,軌跡E的方程為,設(shè)直線的方程為,因為直線與圓C:相切于A1, 由(2)知, 即 ①, 因為與軌跡E只有一個公共點B1, 由(2)知得, 即有唯一解則△=, 即, ② 由①②得, 此時A,B重合為B1(x1,y1)點, 由中,所以,, B1(x1,y1)點在橢圓上,所以,所以, 在直角三角形OA1B1中,因為當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,所以,即當(dāng)時|A1B1|取得最大值,最大值為1. [命題立意]:本題主要考查了直線與圓的方程和位置關(guān)系,以及直線與橢圓的位置關(guān)系,可以通過解方程組法研究有沒有交點問題,有幾個交點的問題. 【查看更多】

題目列表(包括答案和解析)

(本小題滿分14分）

在平面直角坐標(biāo)系中，點、，已知，的垂直平分線交于，當(dāng)點動點時，點的軌跡圖形設(shè)為．

（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）點為上一動點，點為坐標(biāo)原點，設(shè)，求的最大值．

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（本小題滿分14分）

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。

求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形兩條對角線的長；

設(shè)實數(shù)t滿足()·=0，求t的值。

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（本小題滿分14分）在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線被圓截得的弦長為.
（Ⅰ）求圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)圓和軸相交于A，B兩點，點P為圓上不同于A，B的任意一點，直線，交軸于M，N兩點．當(dāng)點P變化時，以為直徑的圓是否經(jīng)過圓內(nèi)一定點？請證明你的結(jié)論.