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解：（1）∵點O是AB的中點，
∴，
設點B的橫坐標是x（x>0），則，
解得（舍去），
∴點B的橫坐標是；
（2）①當時，
得（＊），，
以下分兩種情況討論：
情況1：設點C在第一象限（如圖甲），則點C的橫坐標為，，
由此，可求得點C的坐標為，
點A的坐標為，
∵A，B兩點關(guān)于原點對稱，
∴點B的坐標為，
將點A的橫坐標代入（＊）式右邊，計算得，即等于點A的縱坐標；
將點B的橫坐標代入（＊）式右邊，計算得-，即等于點B的縱坐標，
∴在這種情況下，A，B兩點都在拋物線上；
情況2：設點C在第四象限（如圖乙），則點C的坐標為，
點A的坐標為，點B的坐標為，
經(jīng)計算，A，B兩點都不在這條拋物線上；
②存在；m的值是1或-1。
，因為這條拋物線的對稱軸經(jīng)過點C，所以-1≤m≤1，
當m=±1時，點C在x軸上，
此時A，B兩點都在y軸上，
因此當m=±1時，A，B兩點不可能同時在這條拋物線上。