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閱讀下面所給材料：已知數(shù)列{a_n}，a₁=2，a_n=3a_n-1+2，求數(shù)列的通項a_n．
解：令a_n=a_n-1=x，則有x=3x+2，所以x=-1，故原遞推式a_n=3a_n-1+2可轉(zhuǎn)化為：
a_n+1=3（a_n-1+1），因此數(shù)列{a_n+1}是首項為a₁+1，公比為3的等比數(shù)列．
根據(jù)上述材料所給出提示，解答下列問題：
已知數(shù)列{a_n}，a₁=1，a_n=3a_n-1+4，
（1）求數(shù)列的通項a_n；并用解析幾何中的有關(guān)思想方法來解釋其原理；
（2）若記S_n=

n

k=1

1

lg(ak+2)lg(ak+1+2)

，求

lim

n→∞

S_n；
（3）若數(shù)列{b_n}滿足：b₁=10，b_n+1=100b_n³，利用所學過的知識，把問題轉(zhuǎn)化為可以用閱讀材料的提示，求出解數(shù)列{b_n}的通項公式b_n．

已知函數(shù)，數(shù)列的項滿足： ，（1）試求

（2） 猜想數(shù)列的通項，并利用數(shù)學歸納法證明.

【解析】第一問中，利用遞推關(guān)系,

,   

第二問中，由（1）猜想得：然后再用數(shù)學歸納法分為兩步驟證明即可。

解: (1) ,

,    …………….7分

（2）由（1）猜想得：

（數(shù)學歸納法證明）i) ,  ,命題成立

ii) 假設(shè)時，成立

則時，

                              

綜合i),ii) : 成立

 

數(shù)列，滿足

（1）求，并猜想通項公式。

（2）用數(shù)學歸納法證明（1）中的猜想。

【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項公式求解，并用數(shù)學歸納法加以證明。第一問利用遞推關(guān)系式得到，，，，并猜想通項公式

第二問中，用數(shù)學歸納法證明（1）中的猜想。

①對n=1，等式成立。

②假設(shè)n=k時，成立，

那么當n=k+1時，

，所以當n=k+1時結(jié)論成立可證。

數(shù)列，滿足

（1），，，并猜想通項公。  …4分

（2）用數(shù)學歸納法證明（1）中的猜想。①對n=1，等式成立。  …5分

②假設(shè)n=k時，成立，

那么當n=k+1時，

，             ……9分

所以

所以當n=k+1時結(jié)論成立                     ……11分

由①②知，猜想對一切自然數(shù)n均成立