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15．已知雙曲線x2-y2＝2的右焦點(diǎn)為F.過點(diǎn)F的動(dòng)直線與雙曲線相交于A.B兩點(diǎn).點(diǎn)C的坐標(biāo)是(1,0)． (Ⅰ)證明: ·為常數(shù), (Ⅱ)若動(dòng)點(diǎn)M滿足＝++(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)).求點(diǎn)M的軌跡方程．解:由條件知F(2,0).設(shè)A(x1.y1).B(x2.y2)． (Ⅰ)當(dāng)AB與x軸垂直時(shí).可設(shè)點(diǎn)A.B的坐標(biāo)分別為.此時(shí)·＝＝-1. 當(dāng)AB不與x軸垂直時(shí).設(shè)直線AB的方程是y＝k(x-2)(k≠±1)．代入x2-y2＝2有(1-k2)x2+4k2x-(4k2+2)＝0. 則x1.x2是上述方程的兩個(gè)實(shí)根.所以x1+x2＝.x1x2＝. 于是·＝(x1-1)(x2-1)+y1y2 ＝(x1-1)(x2-1)+k2(x1-2)(x2-2) ＝(k2+1)x1x2-(2k2+1)(x1+x2)+4k2+1 ＝-+4k2+1 ＝(-4k2-2)+4k2+1＝-1. 綜上所述.·為常數(shù)-1. (Ⅱ)解法一:設(shè)M(x.y).則＝(x-1.y).＝(x1-1.y1).＝(x2-1.y2).＝．由＝++得:.即于是AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(.)．當(dāng)AB不與x軸垂直時(shí).＝＝.即y1-y2＝(x1-x2)．又因?yàn)锳.B兩點(diǎn)在雙曲線上.所以x-y＝2.x-y＝2.兩式相減得 (x1-x2)(x1+x2)＝(y1-y2)(y1+y2).即(x1-x2)(x+2)＝(y1-y2)y. 將y1-y2＝(x1-x2)代入上式.化簡得x2-y2＝4. 當(dāng)AB與x軸垂直時(shí).x1＝x2＝2.求得M(2,0).也滿足上述方程．所以點(diǎn)M的軌跡方程是x2-y2＝4. 解法二:同解法一得.① 當(dāng)AB不與x軸垂直時(shí).由(Ⅰ)有x1+x2＝.② y1+y2＝k(x1+x2-4)＝k(-4)＝.③ 由①.②.③得x+2＝. ④ y＝.⑤ 當(dāng)k≠0時(shí).y≠0.由④.⑤得.＝k.將其代入⑤有y＝＝.整理得x2-y2＝4. 當(dāng)k＝0時(shí).點(diǎn)M的坐標(biāo)為.滿足上述方程．當(dāng)AB與x軸垂直時(shí).x1＝x2＝2.求得M(2,0).也滿足上述方程．故點(diǎn)M的軌跡方程是x2-y2＝4. 【查看更多】

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已知雙曲線x²－y²＝2的右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的動(dòng)直線與雙曲線相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)是(1,0).

(1)證明：·為常數(shù)；