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考點一:不等關系與不等式 [內容解讀]通過具體情境.感受在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關系.了解不等(組)的現(xiàn)實背景,了解不等式的有關概念及其分類.掌握不等式的性質及其應用. 養(yǎng)成推理必有依據(jù)的良好習慣.不要想當然.不要錯漏不等式性質使用的條件.如.中.注意后面大于0的條件.出題者往往就在這里出一些似是而非的題目來迷惑考生． [命題規(guī)律]高考中.對本節(jié)內容的考查.主要放在不等式的性質上.題型多為選擇題或填空題.屬容易題. 例1.設.若.則下列不等式中正確的是( ) A． B. C. D. 解:由知, ,所以,故選C. 點評:本題考查絕對值的概念和絕對值的性質.如果用特殊值法也能求解. 例2.已知為非零實數(shù).且.則下列命題成立的是( ) A. B. C. D. 解:取a＝-3.b＝2.由. 點評:特殊值法是解選擇題的一種技巧.在應試時要時刻牢記有這么一種方法.這晨a.b沒有說明符號.注意不要錯用性質. 考點二:一元二次不等式及其解法 [內容解讀]會從實際情況中抽象出一元二次不等式的模型.了解一元二次不等式與函數(shù)方程的聯(lián)系,會解一元二次不等式.會由一元二次不等式的解求原不等式,用同解變形解不等式.分類解不等式,對解含參的不等式.對參數(shù)進行討論,注意數(shù)形結合.會通過函數(shù)圖象來解不等式． (1)用圖象法解一元二次不等式教材中在研究一元二次不等式的解法時.是結合二次函數(shù)的圖象.利用對應的一元二次方程的解得出的.所以我們學習一元二次不等式的解法時.應從二次函數(shù)圖象出發(fā)加以理解． (2)弄清一元二次方程.二次函數(shù).一元二次不等式三者之間的關系二次函數(shù)是研究自變量x與函數(shù)值y之間的對應關系.一元二次方程的解就是自變量為何值時.函數(shù)值的這一情況,而一元二次不等式的解集是自變量變化過程中.何時函數(shù)值()或()的情況．一元二次方程的解對研究二次函數(shù)的函數(shù)值的變化是十分重要的.因為方程的兩根是函數(shù)值由正變負或由負變?yōu)檎姆纸琰c.也是不等式解的區(qū)間的端點．學習過程中.只有搞清三者之間的聯(lián)系.才能正確認識與理解一元二次不等式的解法． [命題規(guī)律]高考命題中.對一元二次不等式解法的考查.若以選擇題.填空題出現(xiàn).則會對不等式直接求解.或經常地與集合.充要條件相結合.難度不大.若以解答題出現(xiàn).一般會與參數(shù)有關.或對參數(shù)分類討論.或求參數(shù)范圍.難度以中檔題為主. 例3.不等式的解集是( ) A． B． C． D．解:原不等式可化為x2-x＞0.即x(x-1)＞0.所以x＜0或x＞1.選(D)．點評:這是一道很簡單的一元二次不等式的試題.只要知道它的解法即可．例4.“ 是“ 的什么條件--( ) A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充要 D．既不充分也不必要解:由|x|＜2.得:-2＜x＜2.由得:-2＜x＜3. -2＜x＜2成立.則-2＜x＜3一定成立.反之則不一定成立.所以.選(A). 點評:本題是不等式與充分必要條件結合的綜合考查題.先解出不等式的解集來.再由充分必要條件的判斷方法可得. 例5.不等式的解集為．解:原不等式變?yōu)?由指數(shù)函數(shù)的增減性.得: .所以填:. 點評:不等式與指數(shù)函數(shù)交匯.不等式與對數(shù)函數(shù)交匯.不等式與數(shù)列交匯是經�？疾榈膬热�.應加強訓練. 例6.已知集合..若.求實數(shù)的取值范圍．解:．設.它的圖象是一條開口向上的拋物線． (1)若.滿足條件.此時.即. 解得, (2)若.設拋物線與軸交點的橫坐標為. 且.欲使.應有. 結合二次函數(shù)的圖象.得即解得．綜上可知的取值范圍是．點評:本題是一元二次不等式與集合結合的綜合題.考查含參數(shù)一元二次不等式的解法.注意分類討論思想的應用.分類時做到不遺漏. 考點三:簡單的線性規(guī)劃 [內容解讀]了解二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域和線性規(guī)劃的意義,了解線性約束條件.線性目標函數(shù).可行解.可行域.最優(yōu)解等基本概念,了解線性規(guī)劃問題的圖解法.并能應用線性規(guī)劃的方法解決一些簡單的實際問題.以提高解決實際問題的能力．生產實際中有許多問題都可以歸納為線性規(guī)劃問題．在線性規(guī)劃的實際問題中.主要掌握兩種類型:一是給定一定數(shù)量的人力.物力資源.問怎樣運用這些資源.能使完成的任務量最大.收到的效益最大,二是給定一項任務.問怎樣安排.能使完成這項任務耗費的人力.物力資源最�。� [命題規(guī)律]線性規(guī)劃問題時多以選擇.填空題的形式出現(xiàn).題型以容易題.中檔題為主.考查平面區(qū)域的面積.最優(yōu)解的問題,隨著課改的深入.近年來.以解答題的形式來考查的試題也時有出現(xiàn).考查學生解決實際問題的能力. 例7.若為不等式組表示的平面區(qū)域.則當從-2連續(xù)變化到1時.動直線掃過中的那部分區(qū)域的面積為 ( )A． B．1 C． D．5 解:如圖知區(qū)域的面積是△OAB去掉一個小直角三角形. (陰影部分面積比1大.比小,故選C,不需要算出來) 點評:給出不等式組.畫出平面區(qū)域.求平面區(qū)域的面積的問題是經�？疾榈脑囶}之一.如果區(qū)域是不規(guī)節(jié)圖形.將它分割成規(guī)節(jié)圖形分別求它的面積即可. 例8.若變量x,y滿足.則z=3x+2y的最大值是 ( ) A．90 B. 80 C. 70 D. 40 解:做出可行域如圖所示.目標函數(shù)化為:y＝-.令z＝0.畫y＝-.及其平行線.如右圖.當它經過兩直線的交點時.取得取大值. 解方程組,得. 所以,故答C. 點評:求最優(yōu)解.畫出可行域.將目標函數(shù)化為斜截式.再令z＝0.畫它的平行線.看y軸上的截距的最值.就是最優(yōu)解. 例9.本公司計劃2008年在甲.乙兩個電視臺做總時間不超過300分鐘的廣告.廣告總費用不超過9萬元.甲.乙電視臺的廣告收費標準分別為元/分鐘和200元/分鐘.規(guī)定甲.乙兩個電視臺為該公司所做的每分鐘廣告.能給公司事來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元．問該公司如何分配在甲.乙兩個電視臺的廣告時間.才能使公司的收益最大.最大收益是多少萬元? 解:設公司在甲電視臺和乙電視臺做廣告的時間分別為分鐘和分鐘.總收益為元.由題意得目標函數(shù)為．二元一次不等式組等價于作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域.即可行域．如圖: 作直線. 即．平移直線.從圖中可知.當直線過點時.目標函數(shù)取得最大值．聯(lián)立解得．點的坐標為． (元) 答:該公司在甲電視臺做100分鐘廣告.在乙電視臺做200分鐘廣告.公司的收益最大.最大收益是70萬元．點評:用線性規(guī)劃的方法解決實際問題能提高學生分析問題.解決問題的能力.隨著課改的深入.這類試題應該是高考的熱點題型之一. 考點四:基本不等關系 [內容解讀]了解基本不等式的證明過程.會用基本不等式解決簡單的最值問題.理解用綜合法.分析法.比較法證明不等式. 利用基本不等式可以求函數(shù)或代數(shù)式的最值問題: (1)當都為正數(shù).且為定值時.有.當且僅當時.等號成立.此時有最小值, (2)當都為正數(shù).且為定值時.有.當且僅當時.等號成立.此時有最大值．創(chuàng)設基本不等式使用的條件.合理拆分項或配湊因式是經常用的解題技巧.而拆與湊的過程中.一要考慮定理使用的條件,二要考慮必須使和或積為定值,三要考慮等號成立的條件(當且僅當a=b時.等號成立).它具有一定的靈活性和變形技巧.高考中常被設計為一個難點． [命題規(guī)律]高考命題重點考查均值不等式和證明不等式的常用方法.單純不等式的命題.主要出現(xiàn)在選擇題或填空題.一般難度不太大. 例10.已知.且.則的最大值是．解: .當且僅當x=4y=時取等號. 點評:本題考查基本不等式求最值的問題.注意變形后使用基本不等式. 例11.已知( ) (A) (B) (C) (D) 解:由,且.∴.∴ . 點評:本小題主要考查不等式的重要不等式知識的運用. 例12.已知..則的最小值．解:由得. 代入得.當且僅當＝3 時取“＝．點評:本小題考查二元基本不等式的運用．題目有有三個未知數(shù).通過已知代數(shù)式.對所求式子消去一個未知數(shù).用基本不等式求解. 考點五:絕對值不等式 [內容解讀]掌握絕對值不等式|x|＜a.|x|＞a的解法.了解絕對值不等式與其它內容的綜合. [命題規(guī)律]本節(jié)內容多以選擇.填空題為主.有時與充分必要條件相結合來考查.難度不大. 例13.“|x-1|＜2 是“x＜3 的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.即不充分也不必要條件解:由|x-1|＜2得-1＜x＜3.在-1＜x＜3的數(shù)都有x＜3.但當x＜3時.不一定有-1＜x＜3.如x＝-5.所以選(A)．點評:本題考查絕對值不等式的解法.充分條件必要條件的解法.可以用特殊值法來驗證.充分性與必要性的成立. 例14.不等式的解集為 (A) (B) (C) (D) 解:∵ ∴ 即. . ∴ 故選A, 點評:此題重點考察絕對值不等式的解法,準確進行不等式的轉化去掉絕對值符號為解題的關鍵.可用公式法.平方法.特值驗證淘汰法, 考點六:不等式的綜合應用 [內容解讀]用不等式的性質.基本不等式.一元二次不等式等內容解決一些實際問題.如求最值.證明不等式等. [命題規(guī)律]不等式的綜合應用多以應用題為主.屬解答題.有一定的難度. 例15.如圖.某單位用木料制作如圖所示的框架,框架的下部是邊長分別為的矩形,上部是斜邊長為的等腰直角三角形.要求框架圍成的總面積為8平方米. (Ⅰ)求的關系式.并求的取值范圍, (Ⅱ)問分別為多少時用料最省? 解:(Ⅰ)由題意得: 4分 (Ⅱ)設框架用料長度為. 則當且僅當滿足答:當米.米時.用料最少. 點評:本題考查利用基本不等式解決實際問題.是面積固定.求周長最省料的模型.解題時.列出一個面積的等式.代入周長所表示的代數(shù)式中.消去一個未知數(shù).這是常用的解題方法. 例16.某化工企業(yè)2007年底投入100萬元.購入一套污水處理設備．該設備每年的運轉費用是0.5萬元.此外每年都要花費一定的維護費.第一年的維護費為2萬元.由于設備老化.以后每年的維護費都比上一年增加2萬元． (1)求該企業(yè)使用該設備年的年平均污水處理費用, (2)問為使該企業(yè)的年平均污水處理費用最低.該企業(yè)幾年后需要重新更換新的污水處理設備? 解:(1) 即(), (2)由均值不等式得: 當且僅當.即時取到等號．答:該企業(yè)10年后需要重新更換新設備．點評:本題又是基本不等式的一個應用.第一問求出函數(shù)關系式是關鍵.第二問難度不大. 考點七:不等式的證明 [內容解讀]證明不等式的方法靈活多樣.但比較法.綜合法.分析法仍是證明不等式的最基本方法．要依據(jù)題設.題斷的結構特點.內在聯(lián)系.選擇適當?shù)淖C明方法.要熟悉各種證法中的推理思維.并掌握相應的步驟.技巧和語言特點．比較法的一般步驟是:作差(商)→變形→判斷符號(值)． [命題規(guī)律]不等式的證明多以解答題的形式出現(xiàn).屬中等偏難的試題. 例17.已知a, b都是正數(shù).并且a ¹ b.求證:a5 + b5 > a2b3 + a3b2 證明: - = + = a3 - b3 = 2 ∵a, b都是正數(shù).∴a + b, a2 + ab + b2 > 0 又∵a ¹ b.∴2 > 0 ∴2 > 0 即:a5 + b5 > a2b3 + a3b2 點評:作差相減法是證明不等式的常用方法之一.通過作差比較差的結果的符號是大于0還是小于0.另外.作商也是經常使用的方法. 例18.已知.求證證明:只需證: 即證: 成立原不等式成立. 點評:用分析法證明不等式也是常用的證明方法.通過分析法.能夠找到證明的思路. 例19.已知m.n為正整數(shù). (Ⅰ)用數(shù)學歸納法證明:當x>-1時.(1+x)m≥1+mx, (Ⅱ)對于n≥6.已知.求證.m=1,1,2-.n, (Ⅲ)求出滿足等式3n+4m+-+n的所有正整數(shù)n. 解:(Ⅰ)證:當x=0或m=1時.原不等式中等號顯然成立.下用數(shù)學歸納法證明: 當x>-1.且x≠0時.m≥2,(1+x)m>1+mx. 1 (i)當m=2時.左邊＝1+2x+x2,右邊＝1+2x.因為x≠0,所以x2>0.即左邊>右邊.不等式①成立, 時.不等式①成立.即(1+x)k>1+kx,則當m=k+1時.因為x>-1,所以1+x>0.又因為x≠0,k≥2,所以kx2>0. 于是在不等式(1+x)k>1+kx兩邊同乘以1+x得 >x+kx2>1+(k+1)x, 所以x,即當m＝k+1時.不等式①也成立. 綜上所述.所證不等式成立. (Ⅱ)證:當而由(Ⅰ). (Ⅲ)解:假設存在正整數(shù)成立. 即有()+＝1. ② 又由(Ⅱ)可得 ()+ +與②式矛盾. 故當n≥6時.不存在滿足該等式的正整數(shù)n. 故只需要討論n=1,2,3,4,5的情形, 當n=1時.3≠4.等式不成立, 當n=2時.32+42＝52.等式成立, 當n=3時.33+43+53＝63.等式成立, 當n=4時.34+44+54+64為偶數(shù).而74為奇數(shù).故34+44+54+64≠74,等式不成立, 當n=5時.同n=4的情形可分析出.等式不成立. 綜上.所求的n只有n=2,3. 點評:本題考查數(shù)學歸納法.不等式的基本.反證法等內容.難度較大. 【查看更多】

題目列表(包括答案和解析)

若a＞b，c＞d，則下列不等關系中不一定成立的是（　�。�

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若a＞b＞0，則下列不等關系中不一定成立的是（　�。�

A．a+c＞b+c

B．ac＞bc

C．a²＞b²

D．

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若a＞b，c＞d，則下列不等關系中不一定成立的是（　�。�

A．a-b＞d-c