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考點(diǎn)一:空間幾何體的結(jié)構(gòu).三視圖.直觀圖 [內(nèi)容解讀]了解柱.錐.臺(tái).球體及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征.并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中的簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu).能畫出簡(jiǎn)單空間幾何體的三視圖.能識(shí)別上述三視圖所表示的立體模型.會(huì)用斜二測(cè)畫法畫出它們的直觀圖.能用平行投影與中心投影兩種方法畫出簡(jiǎn)單空間幾何體的三視圖與直觀圖.了解空間幾何體的不同表示形式.會(huì)畫某建筑物的視圖與直觀圖. 空間幾何體的結(jié)構(gòu)與視圖主要培養(yǎng)觀察能力.歸納能力和空間想象能力.能通過(guò)觀察幾何體的模型和實(shí)物.總結(jié)出柱.錐.臺(tái).球等幾何體的結(jié)構(gòu)特征,能識(shí)別三視圖所表示的空間幾何體.會(huì)用材料制作模型.培養(yǎng)動(dòng)手能力. [命題規(guī)律]柱.錐.臺(tái).球體及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征在舊教材中出現(xiàn)過(guò).而三視圖為新增內(nèi)容.一般情況下.新增內(nèi)容會(huì)重點(diǎn)考查.從2007年.2008年廣東.山東.海南的高考題來(lái)看.三視圖是出題的熱點(diǎn).題型多以選擇題.填空題為主.也有出現(xiàn)在解答題里.如2007年廣東高考就出現(xiàn)在解答題里.屬中等偏易題. 例1.將正三棱柱截去三個(gè)角(如圖1所示分別是三邊的中點(diǎn))得到幾何體如圖2.則該幾何體按圖2所示方向的側(cè)視圖解:在圖2的右邊放扇墻,可得答案A 點(diǎn)評(píng):本題主要考查三視圖中的左視圖.要有一定的空間想象能力. 例2.由大小相同的正方體木塊堆成的幾何體的三視圖如圖所示.則該幾何體中正方體木塊的個(gè)數(shù)是．解:以俯視圖為主.因?yàn)橹饕晥D左邊有兩層.表示俯視圖中左邊最多有兩個(gè)木塊.再看左視圖.可得木塊數(shù)如右圖所示.因此這個(gè)幾何體的正方體木塊數(shù)的個(gè)數(shù)為5個(gè). 點(diǎn)評(píng):從三視圖到確定幾何體.應(yīng)根據(jù)主視圖和俯視圖情況分析.再結(jié)合左視圖的情況定出幾何體.最后便可得出這個(gè)立體體組合的小正方體個(gè)數(shù). 考點(diǎn)二:空間幾何體的表面積和體積 [內(nèi)容解讀]理解柱.錐.臺(tái)的側(cè)面積.表面積.體積的計(jì)算方法.了解它們的側(cè)面展開(kāi)圖.及其對(duì)計(jì)算側(cè)面積的作用.會(huì)根據(jù)條件計(jì)算表面積和體積.理解球的表面積和體積的計(jì)算方法. 把握平面圖形與立體圖形間的相互轉(zhuǎn)化方法.并能綜合運(yùn)用立體幾何中所學(xué)知識(shí)解決有關(guān)問(wèn)題. [命題規(guī)律]柱.錐.臺(tái).球的表面積和體積以公式為主.按照新課標(biāo)的要求.體積公式不要求記憶.只要掌握表面積的計(jì)算方法和體積的計(jì)算方法即可.因此.題目從難度上講屬于中檔偏易題. 例3.已知某幾何體的俯視圖是如圖5所示的矩形.正視圖(或稱主視圖)是一個(gè)底邊長(zhǎng)為8.高為4的等腰三角形.側(cè)視圖(或稱左視圖)是一個(gè)底邊長(zhǎng)為6.高為4的等腰三角形． (1)求該幾何體的體積V, (2)求該幾何體的側(cè)面積S 解: 由已知可得該幾何體是一個(gè)底面為矩形,高為4,頂點(diǎn)在底面的射影是矩形中心的四棱錐V-ABCD. (1) (2) 該四棱錐有兩個(gè)側(cè)面VAD. VBC是全等的等腰三角形,且BC邊上的高為 , 另兩個(gè)側(cè)面VAB. VCD也是全等的等腰三角形, AB邊上的高為因此點(diǎn)評(píng):在課改地區(qū)的高考題中.求幾何體的表面積與體積的問(wèn)題經(jīng)常與三視圖的知識(shí)結(jié)合在一起.綜合考查. 例4.右圖是一個(gè)幾何體的三視圖.根據(jù)圖中數(shù)據(jù).可得該幾何體的表面積是( ) A． B． C． D．解:從三視圖可以看出該幾何體是由一個(gè)球和一個(gè)圓柱組合而成的簡(jiǎn)單幾何體. 其表面及為: .故選D. 點(diǎn)評(píng):本小題主要考查三視圖與幾何體的表面積.既要能識(shí)別簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)特征.又要掌握基本幾何體的表面積的計(jì)算方法. 例5.用與球心距離為的平面去截球.所得的截面面積為.則球的體積為( ) A. B. C. D. 解:截面面積為截面圓半徑為1.又與球心距離為球的半徑是. 所以根據(jù)球的體積公式知.故B為正確答案．點(diǎn)評(píng):本題考查球的一些相關(guān)概念.球的體積公式的運(yùn)用. 考點(diǎn)三:點(diǎn).線.面的位置關(guān)系 [內(nèi)容解讀]理解空間中點(diǎn).線.面的位置關(guān)系.了解四個(gè)公理及其推論,空間兩直線的三種位置關(guān)系及其判定,異面直線的定義及其所成角的求法. 通過(guò)大量圖形的觀察.實(shí)驗(yàn).實(shí)現(xiàn)平面圖形到立體圖形的飛躍.培養(yǎng)空間想象能力.會(huì)用平面的基本性質(zhì)證明共點(diǎn).共線.共面的問(wèn)題. [命題規(guī)律]主要考查平面的基本性質(zhì).空間兩條直線的位置關(guān)系.多以選擇題.填空題為主.難度不大. 例6.如圖1.在空間四邊形ABCD中.點(diǎn)E.H分別是邊AB.AD的中點(diǎn).F.G分別是邊BC.CD上的點(diǎn).且＝＝.則( ) (A)EF與GH互相平行 (B)EF與GH異面 (C)EF與GH的交點(diǎn)M可能在直線AC上.也可能不在直線AC上 (D)EF與GH的交點(diǎn)M一定在直線AC上解:依題意.可得EH∥BD.FG∥BD.故EH∥FG.由公理2可知.E.F.G.H共面.因?yàn)镋H＝BD.＝.故EH≠FG.所以.EFGH是梯形.EF與GH必相交.設(shè)交點(diǎn)為M.因?yàn)辄c(diǎn)M在EF上.故點(diǎn)M在平面ACB上.同理.點(diǎn)M在平面ACD上.即點(diǎn)M是平面ACB與平面ACD的交點(diǎn).而AC是這兩個(gè)平面的交線.由公理3可知.點(diǎn)M一定在平面ACB與平面ACD的交線AC上. 選(D). 點(diǎn)評(píng):本題主要考查公理2和公理3的應(yīng)用.證明共線問(wèn)題.利用四個(gè)公理來(lái)證明共點(diǎn).共線的問(wèn)題是立體幾何中的一個(gè)難點(diǎn). 例7.已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都相等.是的中點(diǎn).則所成的角的余弦值為 A． B． C． D．解:連接AC.BD交于O.連接OE.因OE∥SD.所以∠AEO為異面直線SD與AE所成的角.設(shè)側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都等于2.則在⊿AEO中.OE＝1,AO＝.AE=. 于是.故選C. 點(diǎn)評(píng):求異面直線所成的角.一般是平移異面直線中的一條與另一條相交構(gòu)成三角形.再用三角函數(shù)的方法或正.余弦定理求解. 考點(diǎn)四:直線與平面.平面與平面平行的判定與性質(zhì) [內(nèi)容解讀]掌握直線與平面平行.平面與平面平行的判定與性質(zhì)定理.能用判定定理證明線面平行.面面平行.會(huì)用性質(zhì)定理解決線面平行.面面平行的問(wèn)題. 通過(guò)線面平行.面面平行的證明.培養(yǎng)學(xué)生空間觀念及及觀察.操作.實(shí)驗(yàn).探索.合情推理的能力. [命題規(guī)律]主要考查線線.面面平行的判定與性質(zhì).多以選擇題和解答題形式出現(xiàn).解答題中多以證明線面平行.面面平行為主.屬中檔題. 例8.如圖.在四棱錐中.底面四邊長(zhǎng)為1的菱形., , ,為的中點(diǎn).為的中點(diǎn) (Ⅰ)證明:直線, (Ⅱ)求異面直線AB與MD所成角的大小, (Ⅲ)求點(diǎn)B到平面OCD的距離. 方法一:(1)證明:取OB中點(diǎn)E.連接ME.NE 又 (2) 為異面直線與所成的角作連接 . 所以與所成角的大小為 (3)點(diǎn)A和點(diǎn)B到平面OCD的距離相等.連接OP,過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)Q. 又 ,線段AQ的長(zhǎng)就是點(diǎn)A到平面OCD的距離 . .所以點(diǎn)B到平面OCD的距離為方法二作于點(diǎn)P,如圖,分別以AB,AP,AO所在直線為軸建立坐標(biāo)系 , (1) 設(shè)平面OCD的法向量為,則即取,解得 (2)設(shè)與所成的角為, , 與所成角的大小為 (3)設(shè)點(diǎn)B到平面OCD的交流為,則為在向量上的投影的絕對(duì)值, 由 , 得.所以點(diǎn)B到平面OCD的距離為點(diǎn)評(píng):線面平行的證明.異面直線所成的角.點(diǎn)到直線的距離.既可以用綜合方法求解.也可以用向量方法求解.后者較簡(jiǎn)便.但新課標(biāo)地區(qū)文科沒(méi)學(xué)空間向量. 例9.一個(gè)多面體的直觀圖和三視圖如圖所示.其中M.N分別是AB.AC的中點(diǎn).G是DF上的一動(dòng)點(diǎn). (1)求證: (2)當(dāng)FG=GD時(shí).在棱AD上確定一點(diǎn)P.使得GP//平面FMC,并給出證明. 證明:由三視圖可得直觀圖為直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF,DF=AD=DC (1)連接DB.可知B.N.D共線.且AC⊥DN 又FD⊥AD FD⊥CD. FD⊥面ABCD FD⊥AC AC⊥面FDN GN⊥AC (2)點(diǎn)P在A點(diǎn)處證明:取DC中點(diǎn)S.連接AS.GS.GA G是DF的中點(diǎn).GS//FC,AS//CM 面GSA//面FMC GA//面FMC 即GP//面FMC 點(diǎn)評(píng):證明線面平行.在平面內(nèi)找一條直線與平面外的直線平行.是證明線面平行的關(guān)鍵. 考點(diǎn)五:直線與平面.平面與平面垂直的判定與性質(zhì) [內(nèi)容解讀]掌握直線與平面垂直.平面與平面垂直的判定與性質(zhì)定理.能用判定定理證明線線垂直.線面垂直.面面垂直.會(huì)用性質(zhì)定理解決線面垂直.面面垂直的問(wèn)題. 通過(guò)線面垂直.面面垂直的證明.培養(yǎng)學(xué)生空間觀念及及觀察.操作.實(shí)驗(yàn).探索.合情推理的能力. [命題規(guī)律]主要考查線線.面面垂直的判定與性質(zhì).多以選擇題和解答題形式出現(xiàn).解答題中多以證明線線垂直.線面垂直.面面垂直為主.屬中檔題. 例10.正方體ABCD-A1B1C1D1中O為正方形ABCD的中心.M為BB1的中點(diǎn).求證: (1)D1O//平面A1BC1; (2)D1O⊥平面MAC. 證明: (1)連結(jié)分別交于在正方體中,對(duì)角面為矩形分別是的中點(diǎn) 四邊形為平行四邊形平面,平面平面 (2)連結(jié),設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為, 在正方體中,對(duì)角面為矩形且分別是的中點(diǎn) 在中. .即在正方體中平面又. 平面平面又平面點(diǎn)評(píng):證明線面垂直.關(guān)鍵是在平面內(nèi)找到兩條相交直線與已知直線垂直.由線線垂直推出線面垂直.證明線線垂直有時(shí)要用勾股定理的逆定理．例11.如圖.四棱錐P-ABCD中. PA平面ABCD.底面ABCD是直角梯形.AB⊥AD.CD⊥AD.CD=2AB.E為PC中點(diǎn)． (I) 求證:平面PDC平面PAD, (II) 求證:BE//平面PAD．證明:(1)由PA平面ABCD 平面PDC平面PAD, (2)取PD中點(diǎn)為F.連結(jié)EF.AF.由E為PC中點(diǎn). 得EF為△PDC的中位線.則EF//CD.CD=2EF．又CD=2AB.則EF=AB．由AB//CD.則EF∥AB．所以四邊形ABEF為平行四邊形.則EF//AF．由AF面PAD.則EF//面PAD．點(diǎn)評(píng):證明面面垂直.先證明線面垂直.要證線面垂直.先證明線線垂直．例12.如圖.四棱錐的底面是正方形.底面.是上一點(diǎn)． (1)求證:平面平面, (2)設(shè)..求點(diǎn)到平面的距離, (1)證明:底面且平面平面 (2)解:因?yàn)?且. 可求得點(diǎn)到平面的距離為點(diǎn)評(píng):求點(diǎn)到面的距離.經(jīng)常采用等體積法.利用同一個(gè)幾何體.體積相等.體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想．考點(diǎn)六:空間向量 [內(nèi)容解讀]用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的“三步曲 (1)用空間向量表示問(wèn)題中涉及的點(diǎn).直線.平面.建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系.從而把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題, (2)通過(guò)向量運(yùn)算.研究點(diǎn).直線.平面之間的位置關(guān)系以及它們之間的距離和夾我有等問(wèn)題, (3)把向量的運(yùn)算結(jié)果“翻譯成相應(yīng)的幾何意義． [命題規(guī)律]空間向量的問(wèn)題一般出現(xiàn)在立體幾何的解答題中.難度為中等偏難．例13.如圖1.直三棱柱中.. .棱分別是的中點(diǎn)．求的長(zhǎng), 求的值．解:如圖1.建立空間直角坐標(biāo)系． (1)依題意. 得.． (2)依題意.得. ．．．點(diǎn)評(píng):本題主要考查了空間向量的概念及坐標(biāo)運(yùn)算的基本知識(shí).考查了空間兩向量的夾角.長(zhǎng)度的計(jì)算公式．解題的關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)亟⒖臻g直角坐標(biāo)系和準(zhǔn)確地表示點(diǎn)的坐標(biāo) 例14.如圖2.在四棱錐.底面為矩形.底面.是上一點(diǎn).．已知．求: 異面直線與的距離, 二面角的大�。� 解:以為坐標(biāo)原點(diǎn).所在直線分別為軸.建立空間直角坐標(biāo)系. 并設(shè).則． (1)..解得． .即. 又.故是異面直線與的公垂線．而.即異面直線與的距離為1． (2)作.并設(shè). .且. 則.可�。� 再作于.并設(shè). .且.則. 又取．由..可知與的夾角就是所求二面角的大小. .即所求二面角為．點(diǎn)評(píng):向量法求二面角是一種獨(dú)特的方法.因?yàn)樗坏莻鹘y(tǒng)方法的有力補(bǔ)充.而且還可以另辟溪徑.解決傳統(tǒng)方法難以解決的求二面角問(wèn)題．向量法求二面角通常有以下三種轉(zhuǎn)化方式:①先作.證二面角的平面角.再求得二面角的大小為,②先求二面角兩個(gè)半平面的法向量(注意法向量的方向要分布在二面角的內(nèi)外).再求得二面角的大小為或其補(bǔ)角,③先分別在二面角兩個(gè)半平面內(nèi)作棱的垂線.又可轉(zhuǎn)化為求兩條異面直線的夾角．例15. 如圖.已知正三棱柱.是的中點(diǎn).求證:平面．證明:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為.側(cè)棱長(zhǎng)為.則. .．設(shè)平面的一個(gè)法向量為. 則所以不妨令.則．由于.得．又平面.平面．點(diǎn)評(píng):平面的法向量是空間向量的一個(gè)重要概念.它在解決立體幾何的許多問(wèn)題中都有很好的應(yīng)用. 【查看更多】

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