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[例1]已知a.b∈R.且a+b=1 求證: 證法一:比較法.作差消b,化為a的二次函數(shù). 也可用分析法.綜合法.反證法.實(shí)質(zhì)與比較法相同. 證法二:∵ ∴左邊＝ ＝右邊 證法三:∵. 所以可設(shè).. ∴左邊＝ ＝右邊 當(dāng)且僅當(dāng)t=0時(shí).等號(hào)成立 點(diǎn)評(píng):形如a+b=1結(jié)構(gòu)式的條件.一般可以采用均值換元 證法四: 設(shè)y=(a+2)2+(b+2)2. 由a+b=1.有. 所以. 因?yàn)?所以.即 故 ◆溫馨提示:注意體驗(yàn)不等式證明方法的靈活性和各種證明方法間的內(nèi)在聯(lián)系. [例2](1)設(shè).且.求證: , (2)設(shè).且.求證: [證明] (1)設(shè) 則 . =. (2)設(shè). ∵.∴ . 于是. [例3]已知a＞1.n≥2.n∈N*. 求證:-1＜. 證法一:要證-1＜. 即證a＜(+1)n. 令a-1=t＞0.則a=t+1. 也就是證t+1＜(1+)n. ∵(1+)n=1+C+-+C()n＞1+t. 即-1＜成立. 證法二:設(shè)a=xn.x＞1. 于是只要證＞x-1. 即證＞n.聯(lián)想到等比數(shù)列前n項(xiàng)和 =1+x+-+xn-1>n. ∴＞n. [例4]已知 的單調(diào)區(qū)間, (2)求證:x>y>0,有f; (3)若求證: 解: (1) 對(duì) 已 知 函 數(shù) 進(jìn) 行 降 次 分 項(xiàng) 變 形 , 得 , (2)∵ ∴ 而 另法: ⑶ ∴ 點(diǎn)評(píng):函 數(shù) 與 不 等 式 證 明 的 綜 合 題 在 高 考 中 常 考 常 新 , 是 既 考 知 識(shí) 又 考 能 力 的 好 題 型 , 在 高 考 備 考 中 有 較 高 的 訓(xùn) 練 價(jià) 值. [研討.欣賞]數(shù)列{an}滿足a1=1且an+1= (n≥1) (1)用數(shù)學(xué)歸納法證明:an≥2(n≥2), (2)已知不等式ln(1+x)＜x對(duì)x＞0成立.證明:an＜e2(n≥1).其中無理數(shù)e=2.71828-． 證明:(1)①當(dāng)n=2時(shí).a2=2≥2.不等式成立． ②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2)時(shí)不等式成立.即ak≥2(k≥2). 那么ak+1=≥2．這就是說.當(dāng)n=k+1時(shí)不等式成立． 根據(jù)①.②可知:ak≥2對(duì)所有n≥2成立． 的結(jié)論有 an+1=≤.(n≥1) 兩邊取對(duì)數(shù)并利用已知不等式得 lnan+1≤ln+lnan≤lnan+． 故lnan+1-lnan≤.(n≥1)． 上式從1到n-1求和可得 lnan-lna1≤++-++++-+ =1-++-=1-+1＜2. 即lnan＜2.故an＜e2 (n≥1)． 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

已知a，b∈R，且a+b=1．求證：(a+2)2+(b+2)2≥
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已知a，b∈R，且a+b=1．求證：數(shù)學(xué)公式．

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已知a，b∈R，且a+b=1．求證：．

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已知a，b∈R，且a+b=1．求證：．

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已知a，b∈R，且a+b=1．求證：．

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