我們常用定義解決與圓錐曲線有關(guān)的問(wèn)題．如“設(shè)橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，過(guò)左焦點(diǎn)F₁作傾斜角為θ的弦AB，設(shè)|F₁A|=r₁，|F₁B|=r₂，試證

1

r1

+

1

r2

為定值”．
證明如下：不妨設(shè)A在x軸的上方，在△ABC中，由橢圓的定義及余弦定理得，（2a-r₁）²=r₁²+4c²-4cr₁cosθ，∴r1=

b2

a-ccosθ

，
同理r2=

b2

a-ccos(π-θ)

=

b2

a+ccosθ

，于是

1

r

1+

1

r

2=

2a

b2

．請(qǐng)用類(lèi)似的方法探索：設(shè)雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，過(guò)左焦點(diǎn)F₁作傾斜角為θ的直線與雙曲線右支交于點(diǎn)A，左支交于點(diǎn)B，設(shè)|F₁A|=r₁，|F₁B|=r₂，是否有類(lèi)似的結(jié)論成立，請(qǐng)寫(xiě)出與定值有關(guān)的結(jié)論是______．．

（2013•松江區(qū)一模）對(duì)于雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1，(a＞0，b＞0)，定義C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1，為其伴隨曲線，記雙曲線C的左、右頂點(diǎn)為A、B．
（1）當(dāng)a＞b時(shí)，記雙曲線C的半焦距為c，其伴隨橢圓C₁的半焦距為c₁，若c=2c₁，求雙曲線C的漸近線方程；
（2）若雙曲線C的方程為x²-y²=1，過(guò)點(diǎn)M(-

3

，0)且與C的伴隨曲線相切的直線l交曲線C于N₁、N₂兩點(diǎn)，求△ON₁N₂的面積（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）
（3）若雙曲線C的方程為

x2

4

-

y2

2

=1，弦PQ⊥x軸，記直線PA與直線QB的交點(diǎn)為M，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程．

（2013•松江區(qū)一模）對(duì)于雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1，(a＞0，b＞0)，定義C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1，為其伴隨曲線，記雙曲線C的左、右頂點(diǎn)為A、B．
（1）當(dāng)a＞b時(shí)，記雙曲線C的半焦距為c，其伴隨橢圓C₁的半焦距為c₁，若c=2c₁，求雙曲線C的漸近線方程；
（2）若雙曲線C的方程為

x2

4

-

y2

2

=1，弦PQ⊥x軸，記直線PA與直線QB的交點(diǎn)為M，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；
（3）過(guò)雙曲線C：x²-y²=1的左焦點(diǎn)F，且斜率為k的直線l與雙曲線C交于N₁、N₂兩點(diǎn)，求證：對(duì)任意的k∈[-2-

1

4

，2-

1

4

]，在伴隨曲線C₁上總存在點(diǎn)S，使得

FN1

•

FN2

=

FS

2．