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[例1]求過點的直線.使它與拋物線僅有一個交點. 錯解: 設(shè)所求的過點的直線為.則它與拋物線的交點為 .消去得整理得直線與拋物線僅有一個交點.解得所求直線為正解: ①當所求直線斜率不存在時.即直線垂直軸.因為過點.所以即軸.它正好與拋物線相切.②當所求直線斜率為零時.直線為y = 1平行軸.它正好與拋物線只有一個交點.③一般地.設(shè)所求的過點的直線為,則. 令解得k = ,∴ 所求直線為綜上.滿足條件的直線為: [例2]已知曲線C:與直線L:僅有一個公共點.求m的范圍. 錯解:曲線C:可化為①.聯(lián)立.得: .由Δ＝0,得. 錯因:方程①與原方程并不等價.應(yīng)加上. 正解:原方程的對應(yīng)曲線應(yīng)為橢圓的上半部分..結(jié)合圖形易求得m的范圍為. 注意:在將方程變形時應(yīng)時時注意范圍的變化.這樣才不會出錯. [例3]已知雙曲線.過P(1,1)能否作一條直線L與雙曲線交于A.B兩點.且P為AB中點. 錯解:(1)過點P且與x軸垂直的直線顯然不符合要求. (2)設(shè)過P的直線方程為.代入并整理得: ∴.又∵ ∴ 解之得:k=2.故直線方程為:y=2x-1,即直線是存在的. 正解:接以上過程.考慮隱含條件“Δ>0 .當k=2時代入方程可知Δ<0.故這樣的直線不存在. [例4]已知A.B是圓與x軸的兩個交點.CD是垂直于AB的動弦.直線AC和DB相交于點P.問是否存在兩個定點E.F, 使 | | PE |-| PF | | 為定值?若存在.求出E.F的坐標,若不存在.請說明理由. 解:由已知得 A , 設(shè) P , C ( ) , 則 D (), 由A.C.P三點共線得 ① 由D.B.P三點共線得 ② ①×② 得 ③ 又 , ∴. 代入③得 . 即點P在雙曲線上. 故由雙曲線定義知.存在兩個定點E (-, 0 ). F (, 0 ).使 | | PE |-| PF | | = 2 (即此雙曲線的實軸長為定值). [例5]已知橢圓的中心在坐標原點O.焦點在坐標軸上.直線y=x+1 與該橢圓相交于P和Q.且OP⊥OQ.|PQ|=.求橢圓的方程. 解:設(shè)所求橢圓的方程為=1. 依題意知.點P.Q的坐標滿足方程組: 將②代入①.整理得 . ③ 設(shè)方程③的兩個根分別為..則直線y=x+1和橢圓的交點為 P(,+1).Q(,+1) 由題設(shè)OP⊥OQ.|OP|=.可得整理得解這個方程組.得或根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系.由③式得 (1) 或 (2) 解方程組得或故所求橢圓方程為 =1 . 或 =1. [例6]已知橢圓C1:＝1.拋物線C2:.且C1.C2的公共弦AB過橢圓C1的右焦點.(1)當AB⊥軸時.求.的值.并判斷拋物線C2的焦點是否在直線AB上,(2)若＝.且拋物線C2的焦點在直線AB上.求的值及直線AB的方程. 解:(1)當AB⊥軸時.點A.B關(guān)于軸對稱.所以＝0.直線AB的方程為＝1. 從而點A的坐標為(1.)或(1.-). 因為點A在拋物線上.所以.＝. 此時.拋物線C2的焦點坐標為(.0).該焦點不在直線AB上. (2)當拋物線C2的焦點在直線AB上時.由(1)知直線AB的斜率存在.設(shè)直線AB的方程為 . 由消去得 ① 設(shè)A.B的坐標分別為 ().(). 則.是方程①的兩根.+＝. 因為AB既是過C1的右焦點的弦.又是C2的焦點的弦. 所以|AB|＝(2-)+(2-)＝4-.且 |AB|＝()+()＝＝. 從而＝4- 所以.即解得. 因為C2的焦點F.()在直線上.所以. 即當時直線AB的方程為, 當時直線AB的方程為. 【查看更多】

題目列表(包括答案和解析)

求過點的直線，使它與拋物線僅有一個交點。