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[例1]如圖所示.已知P(4.0)是圓x2+y2=36內(nèi)的一點.A.B是圓上兩動點.且滿足∠APB=90°.求矩形APBQ的頂點Q的軌跡方程. 解:設(shè)AB的中點為R.坐標為(x,y).則在Rt△ABP中.|AR|=|PR|. 又因為R是弦AB的中點.依垂徑定理:在Rt△OAR中.|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-(x2+y2) 又|AR|=|PR|= 所以有(x-4)2+y2=36-(x2+y2),即x2+y2-4x-10=0 因此點R在一個圓上.而當R在此圓上運動時.Q點即在所求的軌跡上運動. 設(shè)Q(x,y).R(x1,y1).因為R是PQ的中點.所以x1=, 代入方程x2+y2-4x-10=0,得 -10=0 整理得 x2+y2=56,這就是所求的軌跡方程. 技巧與方法:對某些較復(fù)雜的探求軌跡方程的問題.可先確定一個較易于求得的點的軌跡方程.再以此點作為主動點.所求的軌跡上的點為相關(guān)點.求得軌跡方程. [例2]某檢驗員通常用一個直徑為2 cm和一個直徑為1 cm的標準圓柱.檢測一個直徑為3 cm的圓柱.為保證質(zhì)量.有人建議再插入兩個合適的同號標準圓柱.問這兩個標準圓柱的直徑為多少? 解:設(shè)直徑為3,2,1的三圓圓心分別為O.A.B.問題轉(zhuǎn)化為求兩等圓P.Q,使它們與⊙O相內(nèi)切.與⊙A.⊙B相外切. 建立如圖所示的坐標系.并設(shè)⊙P的半徑為r,則 |PA|+|PO|=1+r+1.5-r=2.5 ∴點P在以A.O為焦點.長軸長2.5的橢圓上.其方程為 =1 ① 同理P也在以O(shè).B為焦點.長軸長為2的橢圓上.其方程為 (x-)2+y2=1 ② 由①.②可解得.∴r= 故所求圓柱的直徑為 cm. [例3] 直線L:與圓O:相交于A.B兩點.當k變動時.弦AB的中點M的軌跡方程. 錯解:易知直線恒過定點P(5,0).再由.得: ∴.整理得: 分析:求動點軌跡時應(yīng)注意它的完備性與純粹性.本題中注意到點M應(yīng)在圓內(nèi).故易求得軌跡為圓內(nèi)的部分.此時. [例4] 已知A.B為兩定點.動點M到A與到B的距離比為常數(shù)λ,求點M的軌跡方程.并注明軌跡是什么曲線. 解:建立坐標系如圖所示. 設(shè)|AB|=2a,則A(-a,0),B(a,0). 設(shè)M(x,y)是軌跡上任意一點. 則由題設(shè).得=λ,坐標代入.得=λ,化簡得 (1-λ2)x2+(1-λ2)y2+2a(1+λ2)x+(1-λ2)a2=0 (1)當λ=1時.即|MA|=|MB|時.點M的軌跡方程是x=0.點M的軌跡是直線(y軸). (2)當λ≠1時.點M的軌跡方程是x2+y2+x+a2=0.點M的軌跡是以 (-.0)為圓心.為半徑的圓. [例5]若拋物線y=ax2-1上.總存在不同的兩點A.B關(guān)于直線y+x=0對稱.求實數(shù)a的取值范圍. 分析:若存在A.B關(guān)于直線y+x=0對稱.A.B必在與直線y+x=0垂直的直線系中某一條與拋物線y=ax2-1相交的直線上.并且A.B的中點M恒在直線y+x=0上. 解:如圖所示.設(shè)與直線y+x=0垂直的直線系方程為 y=x+b 由得 ax2-x-(b+1)=0 ① 令 △＞0 即 (-1)-4a[-(b+1)]＞0 整理得 4ab+4a+1＞0 ② 在②的條件下.由①可以得到直線y=x+b.拋物線y=ax2-1的交點A.B的中點M的坐標為 (,+b),要使A.B關(guān)于直線y+x=0對稱.則中點M應(yīng)該在直線y+x=0上.所以有 +(+b)=0 ③ 即 b=- 代入②解不等式得 a＞因此.當a＞時.拋物線y=ax2-1上總存在不同的兩點A.B關(guān)于直線y+x=0對稱. 【查看更多】

題目列表(包括答案和解析)

如圖所示，已知P(4，0)是圓x²+y²=36內(nèi)的一點，A、B是圓上兩動點，且滿足∠APB=90°，求矩形APBQ的頂點Q的軌跡方程.