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機(jī)械能守恒定律反映的是物體初.末狀態(tài)的機(jī)械能間關(guān)系.且守恒是有條件的.而動(dòng)能定理揭示的是物體動(dòng)能的變化跟引起這種變化的合外力的功間關(guān)系.既關(guān)心初末狀態(tài)的動(dòng)能.也必須認(rèn)真分析對(duì)應(yīng)這兩個(gè)狀態(tài)間經(jīng)歷的過程中做功情況. 規(guī)律方法 1.單個(gè)物體在變速運(yùn)動(dòng)中的機(jī)械能守恒問題 [例6]從某高處平拋一個(gè)物體.物體落地時(shí)速度方向與水平方向夾角為θ.取地面處重力勢(shì)能為零.則物體落下高度與水平位移之比為 .拋出時(shí)動(dòng)能與重力勢(shì)能之比為 . 解析:設(shè)平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 t.則落地時(shí). gt=v0tanθ即 gt2=v0ttanθ 所以 2h=stanθ所以h/s=tanθ/2 由于落地的速度v=v0/cosθ 又因?yàn)?frac12;m v02十mgh=½mv2 所以mgh=½m v02/cos2θ-½mv02 所以½mv02/mgh=cot2θ [例7]如圖所示.一個(gè)光滑的水平軌道AB與光滑的圓軌道BCD連接.其中圖軌道在豎直平面內(nèi).半徑為R.B為最低點(diǎn).D為最高點(diǎn).一個(gè)質(zhì)量為m的小球以初速度v0沿AB運(yùn)動(dòng).剛好能通過最高點(diǎn)D.則 A.小球質(zhì)量越大.所需初速度v0越大 B.圓軌道半徑越大.所需初速度v0越大 C.初速度v0與小球質(zhì)量m.軌道半徑R無關(guān) D.小球質(zhì)量m和軌道半徑R同時(shí)增大.有可能不用增大初速度v0 解析:球通過最高點(diǎn)的最小速度為v.有mg=mv2/R.v= 這是剛好通過最高點(diǎn)的條件.根據(jù)機(jī)械能守恒.在最低點(diǎn)的速度v0應(yīng)滿足 ½m v02=mg2R+½mv2.v0= 答案:B2.系統(tǒng)機(jī)械能守恒問題 [例8]如圖,斜面與半徑R=2.5m的豎直半圓組成光滑軌道,一個(gè)小球從A點(diǎn)斜向上拋,并在半圓最高點(diǎn)D水平進(jìn)入軌道,然后沿斜面向上,最大高度達(dá)到h=10m,求小球拋出的速度和位置. 解析:小球從A到D的逆運(yùn)動(dòng)為平拋運(yùn)動(dòng),由機(jī)械能守恒,平拋初速度vD為mgh-mg2R=½mvD2; 所以A到D的水平距離為 由機(jī)械能守恒得A點(diǎn)的速度v0為mgh=½mv02; 由于平拋運(yùn)動(dòng)的水平速度不變,則VD=V0cosθ,所以,仰角為 [例9]如圖所示.總長(zhǎng)為L(zhǎng)的光滑勻質(zhì)的鐵鏈.跨過一光滑的輕質(zhì)小定滑輪.開始時(shí)底端相齊.當(dāng)略有擾動(dòng)時(shí).某一端下落.則鐵鏈剛脫離滑輪的瞬間.其速度多大? 解析:鐵鏈的一端上升.一端下落是變質(zhì)量問題.利用牛頓定律求解比較麻煩.也超出了中學(xué)物理大綱的要求.但由題目的敘述可知鐵鏈的重心位置變化過程只有重力做功.或“光滑 提示我們無機(jī)械能與其他形式的能轉(zhuǎn)化.則機(jī)械能守恒.這個(gè)題目我們用機(jī)械能守恒定律的總量不變表達(dá)式E2=El.和增量表達(dá)式ΔEP=一ΔEK分別給出解答.以利于同學(xué)分析比較掌握其各自的特點(diǎn). (1)設(shè)鐵鏈單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為P.且選鐵鏈的初態(tài)的重心位置所在水平面為參考面.則初態(tài)E1=0 滑離滑輪時(shí)為終態(tài).重心離參考面距離L/4.EP/=-PLgL/4 Ek2=½Lv2即終態(tài)E2=-PLgL/4+½PLv2 由機(jī)械能守恒定律得E2= E1有 -PLgL/4+½PLv2=0.所以v= (2)利用ΔEP=-ΔEK.求解:初態(tài)至終態(tài)重力勢(shì)能減少.重心下降L/4.重力勢(shì)能減少-ΔEP= PLgL/4.動(dòng)能增量ΔEK=½PLv2.所以v= 點(diǎn)評(píng)(1)對(duì)繩索.鏈條這類的物體.由于在考查過程中常發(fā)生形變.其重心位置對(duì)物體來說.不是固定不變的.能否確定其重心的位里則是解決這類問題的關(guān)鍵.順便指出的是均勻質(zhì)量分布的規(guī)則物體常以重心的位置來確定物體的重力勢(shì)能.此題初態(tài)的重心位置不在滑輪的頂點(diǎn).由于滑輪很小.可視作對(duì)折來求重心.也可分段考慮求出各部分的重力勢(shì)能后求出代數(shù)和作為總的重力勢(shì)能.至于零勢(shì)能參考面可任意選取.但以系統(tǒng)初末態(tài)重力勢(shì)能便于表示為宜. (2)此題也可以用等效法求解.鐵鏈脫離滑輪時(shí)重力勢(shì)能減少.等效為一半鐵鏈至另一半下端時(shí)重力勢(shì)能的減少.然后利用ΔEP=-ΔEK求解.留給同學(xué)們思考. [例10]一根細(xì)繩不可伸長(zhǎng).通過定滑輪.兩端系有質(zhì)量為M和m的小球.且M=2m.開始時(shí)用手握住M.使M與離地高度均為h并處于靜止?fàn)顟B(tài).求:(1)當(dāng)M由靜止釋放下落h高時(shí)的速度.(2)設(shè)M落地即靜止運(yùn)動(dòng).求m離地的最大高度.(h遠(yuǎn)小于半繩長(zhǎng).繩與滑輪質(zhì)量及各種摩擦均不計(jì)) 解:在M落地之前.系統(tǒng)機(jī)械能守恒v2, M落地之后.m做豎直上拋運(yùn)動(dòng).機(jī)械能守恒.有: ½mv2=mgh/;h/=h/3 離地的最大高度為:H=2h+h/=7h/3 試題展示 機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用 知識(shí)簡(jiǎn)析一.應(yīng)用機(jī)械能守恒定律解題的基本步驟 (1)根據(jù)題意選取研究對(duì)象. (2)明確研究對(duì)象的運(yùn)動(dòng)過程.分析對(duì)象在過程中的受力情況.弄清各力做功的情況.判斷機(jī)械能是否守恒. (3)恰當(dāng)?shù)剡x取零勢(shì)面.確定研究對(duì)象在過程中的始態(tài)和末態(tài)的機(jī)械能. (4)根據(jù)機(jī)械能守恒定律的不同表達(dá)式列式方程.若選用了增就應(yīng)成為確定過程中.動(dòng)能.勢(shì)能在過程中的增減量或各部分機(jī)械能在過程中的增減量來列方程進(jìn)行求解. [例1]如圖5一66所示一質(zhì)量為m的小球.在B點(diǎn)從靜止開始沿半球形容器內(nèi)壁無摩擦地滑下.B點(diǎn)與容器底部A點(diǎn)的高度差為h.容器質(zhì)量為M.內(nèi)壁半徑為R.求: (1)當(dāng)容器固定在水平桌面上.小球滑至底部A時(shí).容器內(nèi)壁對(duì)小球的作用力大。 (2)當(dāng)容器放置在光滑的水平桌面上.小球滑至底部A時(shí).小球相對(duì)容器的速度大。 解析:(1)m下滑只有重力做功.機(jī)械能守恒mgh=½mv2 達(dá)底端A.根據(jù)牛頓第二定律T-mg=mv2/R所以T=mg+2mgh/R=mg (2若容器在光滑水平桌面上.選m和M為研究對(duì)象.系統(tǒng)機(jī)械能守恒.水平方向上動(dòng)量守恒 mgh=½mv2+½Mu12.0=mv十Mu1 所以u(píng)1=-mv/M 代入得mgh=½mv2.所以v=.小球相對(duì)容器的速度大小為v/=v-u1=v十mv/M 所以v/= 答案: 規(guī)律方法 1.機(jī)械能守恒定律與圓周運(yùn)動(dòng)結(jié)合 物體在繩.桿.軌道約束的情況下在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng).往往伴隨著動(dòng)能.勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)化.若機(jī)械能守恒.即可根據(jù)機(jī)械能守恒去求解物體在運(yùn)動(dòng)中經(jīng)過某位里時(shí)的速度.再結(jié)合圓周運(yùn)動(dòng).牛頓定律可求解相關(guān)的運(yùn)動(dòng)學(xué).動(dòng)力學(xué)的量. [例2]如圖1所示.一根長(zhǎng)L的細(xì)繩.固定在O點(diǎn).繩另一端系一條質(zhì)量為m的小球.起初將小球拉至水平于A點(diǎn).求(1)小球從A點(diǎn)由靜止釋放后到達(dá)最低點(diǎn)C時(shí)的速度.(2)小球擺到最低點(diǎn)時(shí)細(xì)繩的拉力. 解:(1)由機(jī)械能守恒有:mgl=½mvC2; (2) 在最低點(diǎn).由向心力公式有T-mg=mv2/l;T=3mg; [例3]在上例中.將小球自水平向下移.使細(xì)繩與水平方向成θ=300角.如圖2所示.求小球從A點(diǎn)由靜止釋放后到達(dá)最低點(diǎn)C時(shí)細(xì)繩的拉力. 解: [例4]如圖.長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)繩一端拴一質(zhì)量為m的小球.另一端固定在O點(diǎn).在O點(diǎn)的正下方某處P點(diǎn)有一釘子.把線拉成水平.由靜止釋放小球.使線碰到釘子后恰能在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng).求P點(diǎn)的位置 解析: 設(shè)繩碰到釘子后恰能繞P點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r.運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的速率為V.由機(jī)械能守恒定律得: 在最高點(diǎn).由向心力公式有:,, [例5]如圖5-69所示.長(zhǎng)為l不可伸長(zhǎng)的細(xì)繩一端系于O點(diǎn).一端系一質(zhì)量為m的物體.物體自與水平夾角300由靜止釋放.問物體到達(dá)O點(diǎn)正下方處的動(dòng)能是多少? 錯(cuò)解:由機(jī)械能守恒定律:mg1·5l=½mv2. 所以最低點(diǎn)動(dòng)能為1.5mgl 分析:小球運(yùn)動(dòng)過程是:先由A點(diǎn)自由下落至B.自B點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng).就在B處繩使其速度改變的瞬間小球的動(dòng)能減少.下面我們通過運(yùn)算來說明這個(gè)問題. 正確解法: vB=.其方向豎直向下.將該速度分解如圖5一70所示 v2=vcos300=cos300 由B至C的過程中機(jī)械能守恒 ½mv十mg0.5l=½mv 由此得½mv=5mgl/4 答案:5mgl/4 點(diǎn)評(píng):通過例5.例6兩題.人們會(huì)有這種想法:為什么例 5中在速度改變瞬間(B點(diǎn))有能量損失.而例 6中就沒有能量損失.這其中原因是什么呢?仔細(xì)考慮可知:例6中繩的作用力與速度垂直.所以只改變了速度的方向而沒有改變速度的大小.而例5中雖然速度大小發(fā)生了變化(v2<vB).由動(dòng)量定理可知.沿半徑方向繩的拉力T產(chǎn)生的沖量使沿繩方向的動(dòng)量發(fā)生了變化.即TΔt=mv1.因此該情況就有能量損失.也就不可用機(jī)械能守恒定律. [例6]如圖所示.在一根長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕桿上的B點(diǎn)和末端C各固定一個(gè)質(zhì)量為m的小球.桿可以在豎直面上繞定點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng).BC=L/3,現(xiàn)將桿拉到水平位置從靜止釋放.求末端小球C擺到最低點(diǎn)時(shí)速度的大小和這一過程中BC端對(duì)C球所做的功. 解析:B.C兩球系統(tǒng)在下擺的過程中只有重力做功.系統(tǒng)機(jī)械能守恒. ; 由于B.C角速度相同. 解得: 對(duì)于C球,由動(dòng)能定理得解得桿BC段對(duì)C球做功 查看更多

 

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