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(二)恒成立問題:解恒成立問題常用方法:①分離參數(shù)法,②數(shù)形結合,③轉化為函數(shù)的最值問題.你能清楚何時用何種方法嗎? 常見題型:①若在上恒成立.則,若在上恒成立.則.②若在上有解.則,若在上無解.則.(注:為常數(shù).)③在上恒成立.是對于任意的.必須大于嗎?應該怎樣解?(不是.通常移項.使即可,若的最值無法求出.則考慮數(shù)形結合.只需在上的圖像始終在的上方即可.) (1)一次函數(shù)型:給定一次函數(shù)y=f,若y=f>0.則根據(jù)函數(shù)的圖象可得上述結論等價于 ⅰ)或ⅱ)亦可合并定成 同理.若在[m,n]內恒有f(x)<0.則有 (2)二次函數(shù)型:若二次函數(shù)y=ax2+bx+c=0大于0恒成立.則有 若是二次函數(shù)在指定區(qū)間上的恒成立問題.還可以利用韋達定理以及根與系數(shù)的分布知識求解. 例1. 設f(x)=x2-2ax+2,當x[-1,+)時.都有f(x)a恒成立.求a的取值范圍. 分析:題目中要證明f(x)a恒成立.若把a移到等號的左邊.則把原題轉化成左邊二次函數(shù)在區(qū)間[-1,+)時恒大于0的問題. 法一:解:設F-a=x2-2ax+2-a. ⅰ)當=4<0時.即-2<a<1時.對一切x[-1,+).F(x) 0恒成立, ⅱ)當=4 0時由圖可得以下充要條件: 即 得-3a-2; 綜合可得a的取值范圍為[-3.1]. 法二:化為求F-a=x2-2ax+2-a.在x[-1,+)上的最小值大于等于0.再對對稱軸的位置進行討論. 法三:分離參數(shù)法:再對參數(shù)分類討論: (3)分離變量型:若在等式或不等式中出現(xiàn)兩個變量.其中一個變量的范圍已知.另一個變量的范圍為所求.且容易通過恒等變形將兩個變量分別置于等號或不等號的兩邊.則可將恒成立問題轉化成函數(shù)的最值問題求解. 例2. 已知當xR時.不等式a+cos2x<5-4sinx+恒成立.求實數(shù)a的取值范圍. 分析:在不等式中含有兩個變量a及x.其中x的范圍已知(xR).另一變量a的范圍即為所求.故可考慮將a及x分離. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

已知函數(shù)

（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在[1，2]上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；

（Ⅱ）令g（x）= f（x）－x2，是否存在實數(shù)a，當x∈（0，e](e是自然常數(shù))時，函數(shù)g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由；

（Ⅲ）當x∈（0，e]時，證明：

【解析】本試題主要是考查了導數(shù)在研究函數(shù)中的運用。第一問中利用函數(shù)f（x）在[1，2]上是減函數(shù)，的導函數(shù)恒小于等于零，然后分離參數(shù)求解得到a的取值范圍。第二問中，

假設存在實數(shù)a，使有最小值3，利用，對a分類討論，進行求解得到a的值。

第三問中，

因為，這樣利用單調性證明得到不等式成立。

解：(Ⅰ)

(Ⅱ) 

（Ⅲ）見解析

 

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