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二項式定理的應用:二項式定理的主要應用有近似計算.證明整除性問題或求余數.應用其首尾幾項進行放縮證明不等式. 如5精確到0.001近似值為 0.990 , (2)被4除所得的余數為 , (3)今天是星期一.10045天后是星期 二 , (4)求證:能被64整除, (5)求證:6. =Ca+ Cab+-+ Cab+-+Cb n∈N.它共有n+1項.其中C叫做二項式系數.Cab叫做二項式的通項.用T表示.即通項為展開式的第r+1項.T＝Cab. 特別提醒:(1)項的系數與二項式系數是不同的兩個概念.但當二項式的兩個項的系數都為1時.系數就是二項式系數.如在的展開式中.第r+1項的二項式系數為.第r+1項的系數為,而的展開式中的系數就是二項式系數, (2)當n的數值不大時往往借助楊輝三角直接寫出各項的二項式系數, (3)審題時要注意區(qū)分所求的是項還是第幾項?求的是系數還是二項式系數? 如:(1)的展開式中常數項是 , (2)的展開式中的的系數為 , (3)數的末尾連續(xù)出現零的個數是 3個 , (4)展開后所得的的多項式中.系數為有理數的項共有 7 項, (5)若的值能被5整除.則的可 取值的個數有 5 個, (6)若二項式按降冪展開后.其第二項不大于第三項.則 的取值范圍是 , (7)函數的最大值是 . (2).在二項式定理中.對a,b取不同的值可推出許多常用的式子: =1+Cx+Cx+-+Cx+-+x (2) C+ C+-+ C+-+C=2 (3) C+ C++-= C++-=2 應用“賦值法 可求得二項展開式中各項系數和為.“奇數 項 系數和為.以及“偶數 項 系數和為. 如(1)如果.則 , (2)化簡得 (3)已知.則等于 , (4).則+ ＝ , (5)設,則 . (3).楊輝三角: 1 2 1 (a+b) 1 2 1 (a+b) 1 3 3 1 (a+b) 1 4 6 4 1 (a+b) 1 5 10 10 5 1 (a+b) 1 6 15 20 15 6 1 (a+b) 表中除1以外的其余各數都等于它肩上的兩個數之和. 當n的數值不大時往往借助楊輝三角直接寫出各項的二項式系數. (4).二項式系數的性質: 1)對稱性:與首末兩端“等距離 的兩個二項式系數相等.即 2)增減性與最大值:當r≤時.二項式系數C的值逐漸增大.當r≥時,C的值逐漸減小.且在中間取得最大值.當n為偶數時.中間一項的二項式系數取得最大值. 當n為奇數時.中間兩項的二項式系數相等并同時取最大值 如(1)在二項式的展開式中.系數最小的項的系數為 , (2)在的展開式中.第十項是二項式系數最大的項.則＝ 18 . (5).求二項式展開式中的系數絕對值最大的項常先判斷系數的絕對值的單調性.求二項式展開式中的系數最大的項在上面的基礎上再分析符號. 設第項的系數最大.由不等式組確定.或由來確定. 如求的展開式中.系數的絕對值最大的項和系數最大的項. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

在學習二項式定理時，我們知道楊輝三角中的數具有兩個性質：①每一行中的二項式系數是“對稱”的，即第1項與最后一項的二項式系數相等，第2項與倒數第2項的二項式系數相等，……；②圖中每行兩端都是1，而且除1以外的每一個數都等于它肩上兩個數的和．我們也知道，性質①對應于組合數的一個性質：．

(1)試寫出性質②所對應的組合數的另一個性質；

(2)請利用組合數的計算公式對(1)中組合數的另一個性質作出證明．

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（本題共2小題，第一小題4分，第二小題8分，共12分）

在學習二項式定理時，我們知道楊輝三角中的數具有兩個性質：① 每一行中的二項式系數是“對稱”的，即第1項與最后一項的二項式系數相等，第2項與倒數第2項的二項式系數相等，；② 圖中每行兩端都是1，而且除1以外的每一個數都等于它肩上兩個數的和．我們也知道，性質①對應于組合數的一個性質：．

（1）試寫出性質②所對應的組合數的另一個性質；

（2）請利用組合數的計算公式對（1）中組合數的另一個性質作出證明．

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我們知道，對一個量用兩種方法分別算一次，由結果相同可以構造等式，這是一種非常有用的思想方法--“算兩次”（G．Fubini原理），如小學有列方程解應用題，中學有等積法求高…
請結合二項式定理，利用等式（1+x）n•（1+x）n=（1+x）2n（n∈N*）
證明：
（1）
n
r=0
(
C
r
n
)2=
C
n
2n
；  
（2）
m
r=0
(
C
r
n
C
m-r
n
)=
C
m
2n
．

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我們知道，對一個量用兩種方法分別算一次，由結果相同可以構造等式，這是一種非常有用的思想方法--“算兩次”（G．Fubini原理），如小學有列方程解應用題，中學有等積法求高…
請結合二項式定理，利用等式（1+x）n•（1+x）n=（1+x）2n（n∈N*）
證明：
（1）；  
（2）．

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在學習二項式定理時，我們知道楊輝三角中的數具有兩個性質：①每一行中的二項式系數是“對稱”的，即第1項與最后一項的二項式系數相等，第2項與倒數第2項的二項式系數相等，…；②圖中每行兩端都是1，而且除1以外的每一個數都等于它肩上兩個數的和．我們也知道，性質①對應于組合數的一個性質：cnm=Cnn-m．
（1）試寫出性質②所對應的組合數的另一個性質；
（2）請利用組合數的計算公式對（1）中組合數的另一個性質作出證明．

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