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題型一:判斷函數(shù)的奇偶性例1．討論下述函數(shù)的奇偶性: 解:(1)函數(shù)定義域為R. . ∴f(x)為偶函數(shù), 先化簡:.顯然為偶函數(shù),從這可以看出.化簡后再解決要容易得多. (2)須要分兩段討論: ①設 ②設 ③當x=0時f(x)=0.也滿足f(-x)=-f(x), 由①.②.③知.對x∈R有f(-x) =-f(x). ∴f(x)為奇函數(shù), (3).∴函數(shù)的定義域為. ∴f(x)=log21=0(x=±1) .即f(x)的圖象由兩個點 A與B(1.0)組成.這兩點既關于y軸對稱.又關于原點對稱.∴f(x)既是奇函數(shù).又是偶函數(shù), (4)∵x2≤a2, ∴要分a >0與a <0兩類討論. ①當a >0時. .∴當a >0時.f(x)為奇函數(shù), 既不是奇函數(shù).也不是偶函數(shù). 點評:判斷函數(shù)的奇偶性是比較基本的問題.難度不大.解決問題時應先考察函數(shù)的定義域.若函數(shù)的解析式能化簡.一般應考慮先化簡.但化簡必須是等價變換過程. 例2．設函數(shù)f(x)在內(nèi)有定義.下列函數(shù):①y=-|f(x)|,②y=xf(x2),③y=-f(-x),④y=f(x)-f(-x). 必為奇函數(shù)的有 (要求填寫正確答案的序號) 答案:②④,解析:y=(-x)f［(-x)2］=-xf(x2)=-y,y=f(-x)-f(x)=-y. 點評:該題考察了判斷抽象函數(shù)奇偶性的問題.對學生邏輯思維能力有較高的要求. 題型二:奇偶性的應用例3．設f(x)是定義在R上的奇函數(shù).若當x≥0時.f(x)=log3(1+x).則f(-2)= . 答案:-1,解:因為x≥0時.f(x)=log3(1+x).又f(x)為奇函數(shù).所以f(-x)=-f(x).設x＜0.所以f(x)=-f(-x)=-f(1-x).所以f(-2)=-log33=-1. 點評:該題考察函數(shù)奇偶性的應用.解題思路是利用函數(shù)的奇偶性得到函數(shù)在對稱區(qū)域上函數(shù)的取值. 例4．已知定義在R上的函數(shù)y= f(x)滿足f(2+x)= f(2-x).且f(x)是偶函數(shù).當x∈[0.2]時.f(x)=2x-1.求x∈[-4.0]時f(x)的表達式. 解:由條件可以看出.應將區(qū)間[-4.0]分成兩段考慮: ①若x∈[-2.0].-x∈[0.2]. ∵f(x)為偶函數(shù). ∴當x∈[-2.0]時.f(x)= f(-x)=-2x-1, ②若x∈[-4.-2. ∴4+ x∈[0.2. ∵f(2+x)+ f(2-x). ∴f(x)= f(4-x). ∴f(x)= f(-x)= f[4-(-x)]= f(4+x)=2(x+4)-1=2x+7, 綜上. 點評:結(jié)合函數(shù)的數(shù)字特征.借助函數(shù)的奇偶性.處理函數(shù)的解析式. 題型三:判斷證明函數(shù)的單調(diào)性例5．設.是上的偶函數(shù). (1)求的值,(2)證明在上為增函數(shù). 解:(1)依題意.對一切.有.即. ∴對一切成立.則.∴. ∵.∴. 設.則 . 由.得.. ∴. 即.∴在上為增函數(shù). ∵. ∴ ∴在上為增函數(shù) 點評:本題用了兩種方法:定義法和導數(shù)法.相比之下導數(shù)法比定義法更為簡潔. 例6．已知f(x)是定義在R上的增函數(shù).對x∈R有f(x)>0.且f(5)=1.設F(x)= f(x)+.討論F (x)的單調(diào)性.并證明你的結(jié)論. 解:這是抽角函數(shù)的單調(diào)性問題.應該用單調(diào)性定義解決. 在R上任取x1.x2.設x1<x2.∴f(x2)= f(x1). ∵f(x)是R上的增函數(shù).且f(10)=1. ∴當x<10時0< f(x)<1, 而當x>10時f(x)>1; ① 若x1<x2<5.則0<f(x1)<f(x2)<1, ② ∴0< f(x1)f(x2)<1, ∴<0, ∴F (x2)< F(x1), ②若x2 >x1>5.則f(x2)>f(x1)>1 , ∴f(x1)f(x2)>1, ∴>0, ∴ F(x2)> F (x1), 綜上.F (x)在為減函數(shù).在為增函數(shù). 點評:該題屬于判斷抽象函數(shù)的單調(diào)性.抽象函數(shù)問題是函數(shù)學習中一類比較特殊的問題.其基本能力是變量代換.換元等.應熟練掌握它們的這些特點. 題型四:函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例7．設函數(shù)f(x)＝(a＞b＞0).求f(x)的單調(diào)區(qū)間.并證明f(x)在其單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性. .解:在定義域內(nèi)任取x1＜x2. ∴f(x1)-f(x2)＝ . ∵a＞b＞0.∴b-a＜0.x1-x2＜0. 只有當x1＜x2＜-b或-b＜x1＜x2時函數(shù)才單調(diào)．當x1＜x2＜-b或-b＜x1＜x2時f(x1)-f(x2)＞0． ∴f(x)在(-b.+∞)上是單調(diào)減函數(shù).在(-∞.-b)上是單調(diào)減函數(shù)．點評:本小題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的基本知識.對于含參數(shù)的函數(shù)應用函數(shù)單調(diào)性的定義求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. 例8．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間, (2)已知若試確定的單調(diào)區(qū)間和單調(diào)性. 解:(1)函數(shù)的定義域為. 分解基本函數(shù)為. 顯然在上是單調(diào)遞減的.而在上分別是單調(diào)遞減和單調(diào)遞增的.根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性的規(guī)則: 所以函數(shù)在上分別單調(diào)遞增.單調(diào)遞減. (2)解法一:函數(shù)的定義域為R. 分解基本函數(shù)為和. 顯然在上是單調(diào)遞減的.上單調(diào)遞增, 而在上分別是單調(diào)遞增和單調(diào)遞減的.且. 根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性的規(guī)則: 所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為. 解法二:. . 令 .得或. 令 .或 ∴單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為. 點評:該題考察了復合函數(shù)的單調(diào)性.要記住“同向增.異向減的規(guī)則. 題型五:單調(diào)性的應用例9．已知偶函數(shù)f(x)在上為增函數(shù).且f(2)=0.解不等式f［log2(x2+5x+4)］≥0. 解:∵f(2)=0,∴原不等式可化為f［log2(x2+5x+4)］≥f(2). 又∵f(x)為偶函數(shù).且f(x)在上為增函數(shù). ∴f(x)在上為減函數(shù)且f(-2)=f(2)=0. ∴不等式可化為 log2(x2+5x+4)≥2 ① 或 log2(x2+5x+4)≤-2 ② 由①得x2+5x+4≥4.∴x≤-5或x≥0 ③ 由②得0＜x2+5x+4≤得 ≤x＜-4或-1＜x≤ ④ 由③④得原不等式的解集為 {x|x≤-5或≤x≤-4或-1＜x≤或x≥0. 例10．已知奇函數(shù)f(x)的定義域為R.且f(x)在［0.+∞］上是增函數(shù).是否存在實數(shù)m.使f(cos2θ-3)+f(4m-2mcosθ)>f(0)對所有θ∈［0,］都成立?若存在.求出符合條件的所有實數(shù)m的范圍.若不存在.說明理由. 解:∵f(x)是R上的奇函數(shù).且在［0.+∞］上是增函數(shù). ∴f(x)是R上的增函數(shù).于是不等式可等價地轉(zhuǎn)化為f(cos2θ-3)>f(2mcosθ-4m). 即cos2θ-3>2mcosθ-4m,即cos2θ-mcosθ+2m-2>0. 設t=cosθ,則問題等價地轉(zhuǎn)化為函數(shù) g(t)?=t2-mt+2m-2=(t-)2-+2m-2在［0.1］上的值恒為正.又轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(t)在［0.1］上的最小值為正. ∴當<0,即m<0時.g(0)=2m-2>0m>1與m<0不符, 當0≤≤1時.即0≤m≤2時.g(m)=-+2m-2>04-2<m<4+2. ∴4-2<m≤2 當>1,即m>2時.g(1)=m-1>0m>1. ∴m>2 綜上.符合題目要求的m的值存在.其取值范圍是m>4-2. 另法(僅限當m能夠解出的情況): cos2θ-mcosθ+2m-2>0對于θ∈［0,］恒成立.等價于m>(2-cos2θ)/(2-cosθ) 對于θ∈［0,］恒成立 ∵當θ∈［0,］時.(2-cos2θ)/(2-cosθ) ≤4-2.∴m>4-2. 點評:上面兩例子借助于函數(shù)的單調(diào)性處理了恒成立問題和不等式的求解問題. 題型六:最值問題例11．設a為實數(shù).函數(shù)f(x)=x2+|x-a|+1.x∈R. (1)討論f(x)的奇偶性,(2)求f(x)的最小值. 解:(1)當a=0時.函數(shù)f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x).此時f(x)為偶函數(shù). 當a≠0時.f(a)=a2+1.f(-a)=a2+2|a|+1.f(-a)≠f(a).f(-a)≠-f(a). 此時函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù).也不是偶函數(shù). (2)①當x≤a時.函數(shù)f(x)=x2-x+a+1=(x-)2+a+. 若a≤.則函數(shù)f(x)在(-∞.a)上單調(diào)遞減.從而.函數(shù)f(x)在(-∞.a)上的最小值為f(a)=a2+1. 若a＞.則函數(shù)f(x)在(-∞.a上的最小值為f()=+a.且f()≤ f(a). ②當x≥a時.函數(shù)f(x)=x2+x-a+1=(x+)2-a+. 若a≤-.則函數(shù)f(x)在［a.+∞上的最小值為f(-)=-a.且f(-)≤f(a). 若a＞-.則函數(shù)f(x)在［a.+∞］上單調(diào)遞增.從而.函數(shù)f(x)在［a.+∞］上的最小值為f(a)=a2+1. 綜上.當a≤-時.函數(shù)f(x)的最小值是-a. 當-＜a≤時.函數(shù)f(x)的最小值是a2+1. 當a＞時.函數(shù)f(x)的最小值是a+. 點評:函數(shù)奇偶性的討論問題是中學數(shù)學的基本問題.如果平時注意知識的積累.對解此題會有較大幫助.因為x∈R.f(0)=|a|+1≠0.由此排除f(x)是奇函數(shù)的可能性.運用偶函數(shù)的定義分析可知.當a=0時.f(x)是偶函數(shù).第2題主要考查學生的分類討論思想.對稱思想. 例12．設m是實數(shù).記M={m|m>1}.f(x)=log3(x2-4mx+4m2+m+). (1)證明:當m∈M時.f(x)對所有實數(shù)都有意義,反之.若f(x)對所有實數(shù)x都有意義.則m∈M, (2)當m∈M時.求函數(shù)f(x)的最小值, (3)求證:對每個m∈M,函數(shù)f(x)的最小值都不小于1. (1)證明:先將f(x)變形:f(x)=log3［(x-2m)2+m+］, 當m∈M時.m>1,∴(x-m)2+m+>0恒成立. 故f(x)的定義域為R. 反之.若f(x)對所有實數(shù)x都有意義.則只須x2-4mx+4m2+m+>0. 令Δ＜0.即16m2-4(4m2+m+)＜0.解得m>1.故m∈M. (2)解析:設u=x2-4mx+4m2+m+. ∵y=log3u是增函數(shù). ∴當u最小時.f(x)最小. 而u=(x-2m)2+m+. 顯然.當x=m時.u取最小值為m+. 此時f(2m)=log3(m+)為最小值. (3)證明:當m∈M時.m+=(m-1)+ +1≥3. 當且僅當m=2時等號成立. ∴l(xiāng)og3(m+)≥log33=1. 點評:該題屬于函數(shù)最值的綜合性問題.考生需要結(jié)合對數(shù)函數(shù)以及二次函數(shù)的性質(zhì)來進行處理. 題型七:周期問題例13．若y=f(2x)的圖像關于直線和對稱.則f(x)的一個周期為( ) A． B． C． D．解:因為y=f(2x)關于對稱.所以f(a+2x)=f(a-2x). 所以f(2a-2x)=f[a+(a-2x)]=f[a-(a-2x)]=f(2x). 同理.f(b+2x) =f(b-2x). 所以f(2b-2x)=f(2x). 所以f(2b-2a+2x)=f[2b-(2a-2x)]=f(2a-2x)=f(2x). 所以f(2x)的一個周期為2b-2a. 故知f(x)的一個周期為4(b-a).選項為D. 點評:考察函數(shù)的對稱性以及周期性.類比三角函數(shù)中的周期變換和對稱性的解題規(guī)則處理即可.若函數(shù)y=f(x)的圖像關于直線x=a和x=b對稱(a≠b).則這個函數(shù)是周期函數(shù).其周期為2(b-a). 例14．已知函數(shù)是定義在上的周期函數(shù).周期.函數(shù)是奇函數(shù)又知在上是一次函數(shù).在上是二次函數(shù).且在時函數(shù)取得最小值. ①證明:, ②求的解析式, ③求在上的解析式. 解:∵是以為周期的周期函數(shù). ∴. 又∵是奇函數(shù). ∴. ∴. ②當時.由題意可設. 由得. ∴. ∴. ③∵是奇函數(shù). ∴. 又知在上是一次函數(shù). ∴可設.而. ∴.∴當時.. 從而當時..故時.. ∴當時.有. ∴. 當時.. ∴ ∴. 點評:該題屬于普通函數(shù)周期性應用的題目.周期性是函數(shù)的圖像特征.要將其轉(zhuǎn)化成數(shù)字特征. 【查看更多】

題目列表(包括答案和解析)

（本小題滿分12分）已知函數(shù)，